移动最小二乘数据拟合中的若干问题研究

论文摘要

科学计算中涉及到大量的实验数据,对这些数据进行拟合具有重要的研究意义。移动最小二乘法在数据拟合方面有着广泛的应用,近几年在曲线曲面拟合方面得到了很大的发展。进行曲线曲面拟合时采用移动最小二乘法,可以克服很多最小二乘法的缺点,并具有许多其他拟合方法所无法比拟的优点。但移动最小二乘法还有很多需要改进的地方,通过对移动最小二乘法若干问题的讨论和改进,可以使曲线曲面拟合得到更好的效果,对于带插值条件或者导数条件的数据拟合情况,也可以将移动最小二乘法进行改进,得到满足要求的拟合效果。本文就移动最小二乘法的若干问题展开了研究,并在数据拟合等应用中进行了验证和推广。具体内容如下:第一部分介绍了基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合问题,并与最小二乘拟合效果进行比较,然后把这两种拟合方法应用到曲面的几何属性估算方面,对任意给定曲面上某点的微分几何属性,可以通过估算拟合曲面上该处的几何属性来近似得到。第二部分讨论了采用移动最小二乘法时,影响半径的选取问题。选取不同大小的影响半径进行拟合,往往会得到不同的拟合效果,计算量也会不同,针对离散点均匀分布的情况,讨论了半径的选取方法。另外对于一些数据点分布复杂情况,给出了新的算法,先在支持域内选取关键节点,再进行拟合,可以得到期望的拟合效果。第三部分讨论了采用移动最小二乘法时,权函数的选取问题。采用不同的样条权函数进行曲线拟合,然后比较得到的拟合结果,发现采用高次样条权函数进行拟合可以得到很好的效果,拟合误差也比较小,但计算量较大,通常使用低次样条权函数可以得到较好的拟合效果。第四部分介绍了带插值条件的移动最小二乘构造方法。先给出了一种新的带插值条件的最小二乘法,具有拟合函数次数低、计算方便等优点,再推广到带插值条件的移动最小二乘法,并将其应用于曲线曲面拟合问题中,得到更好的拟合效果。同时,给出了带导数条件的最小二乘法,利用拉格朗日乘数法求系数来得到拟合函数。最后,推导了带导数条件的移动最小二乘构造方法。最后对全文进行了总结,并对下一步工作进行了展望。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 前言
• 1.2 曲线曲面拟合及移动最小二乘法的研究现状
• 1.3 本文的工作
• 1.3.1 主要研究内容和成果
• 1.3.2 论文的组织结构
• 第二章 最小二乘曲线曲面拟合
• 2.1 最小二乘曲线拟合
• 2.2 最小二乘曲面拟合
• 第三章 移动最小二乘曲线曲面拟合
• 3.1 移动最小二乘法基本原理
• 3.2 与最小二乘法的关系
• 3.3 移动最小二乘曲线拟合
• 3.4 移动最小二乘曲面拟合
• 3.5 在曲面几何属性估算方面的应用
• 第四章 关于移动最小二乘法中影响半径的讨论
• 4.1 方阵A（x）可逆条件的推导
• 4.2 线性基情况下影响半径的选取
• 4.3 二次基情况下影响半径的选取
• 4.4 特殊情况下圆形支持域的处理算例
• 第五章 关于移动最小二乘法中权函数的讨论
• 5.1 不同的样条权函数
• 5.2 采用不同样条权函数对拟合的影响
• 第六章 带插值条件的曲线曲面拟合
• 6.1 带插值条件的最小二乘曲线拟合
• 6.1.1 拟合方法介绍
• 6.1.2 算例
• 6.2 带插值条件的最小二乘曲面拟合
• 6.2.1 拟合方法介绍
• 6.2.2 算例
• 6.3 带插值条件的移动最小二乘曲线拟合
• 6.3.1 拟合方法介绍
• 6.3.2 算例
• 6.4 带插值条件的移动最小二乘曲面拟合
• 6.4.1 拟合方法介绍
• 6.4.2 算例
• 6.5 带导数条件的最小二乘法
• 6.6 带导数条件的移动最小二乘法
• 第七章 总结和展望
• 7.1 研究工作总结
• 7.2 进一步展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间的研究成果