Bernstein算子的Lupas q-模拟的收敛速度及其饱和性

论文摘要

本文主要研究Bernstein算子的Lupas q-模拟的收敛速度及其饱和性。1912年Bernstein用概率论的方法定义了经典的Bernstein算子（见[2]）：Bnf（x）：=sum from k=0 to n(f（k/n）（?）xk（1-x）n-k)，n=1，2…，其中f：[0，1]→R。经典的Bernstein算子有许多杰出的性质，这使它成为了研究的热门领域。后来随着q微积分的发展，出现了很多基于q整数的Bernstein算子的各种推广。A．Lupas就是在这个推广方向上作出贡献的第一个人。在1987年，A．Lupas引入了一种Bernstein算子的Lupas q-模拟Rn，q（f，x）（见[11]），Bernstein算子的Lupas q-模拟是经典的Bernstein算子的一种推广形式。定义如下：当q=1时，Rn，q（f，x）就退化成为了经典的Berstein算子，对所有q＞0，以及任意正整数n，算子Rn，q（f，x）均是C[0，1]上的正线性算子。和经典的Bernstein算子一样，Bernstein算子的Lupas q-模拟也具有很好的保形性质，例如保线性，对凸函数的保单调性等等（见[11]）。但它们也有本质的不同，例如收敛性及收敛速度等问题。Bernstein（见[4]）证明了：如果f是[0，1]上的连续函数，则序列{Bn（f，x）)在[0，1]上一致收敛到f（x）。而Sofiya Ostrovska（见[18]）证明了对所有的g＞0且q≠1，则Rn，q（f，x）一致收敛到f（x）当且仅当f是线性的。值得注意的是当q≠1时，算子R(n，q（f，x）是有理函数而非算子。这是Bernstein算子的Lupas q-模拟与经典的Bernstein算子的最大区别。本文主要研究Bernstein算子的Lupas q-模拟的收敛速度及其饱和性，得到了一些结果如下：（1）设q∈（0，1）固定，f∈C[0，1]，则‖Rn，q（f）-R∞，q（f）‖≤Cqω（f，qn），其中Cq=max{5，2+（6-5q）/（1-q）2}。并且这个结果在下述阶的意义下是最优的：对每一个α，0＜α≤1，存在一个函数fα（x）属于Lipschitz类Lipα：={f∈C[0，1]|ω（f，t）≤ctα}，满足‖Rn，q（fα）-R∞，q（fα）‖（?）qαn。其中A（n）（?）B（n）意思是：存在与n无关的常数c1，c2，满足c1B（n）≤A（n）≤c2B（n）。（2）设f∈C[0，1]，则对任意q∈（1，∞）有‖Rn，q（f）-R∞，q（f）‖≤Cqω（f，1/qn），其中C′q是不依赖于f和n的常数。（3）设q∈（0，1）固定，f∈C[0，1]，则‖Rn，q（f）-R∞，q（f）‖≤cω2(f，（qn）1/2)，其中c是一个绝对常数。（4）设q∈（1，∞）固定，则‖Rn，q（f）-R∞，q（f）‖≤cω2(f，（1/qn）1/2)，其中c是一个绝对常数。（5）设q∈（0，1）固定，则对任意函数f∈C1[0，1]，有其中u=x/（1-x），且上述收敛结果对x∈[0，1]是一致的。（6）设0＜q＜1，f∈C1[0，1]。则‖Rn，q（f）-R∞，q（f）‖=o（qn）当且仅当(f(1-qk-1)-f（1-qk）)/((1-qk-1)-（1-qk）)=f′（1-qk），k=1，2，…。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 引言
• 第一章 Bernstein算子的Lupas q-模拟的收敛速度
• §1 预备知识及主要结果
• §2 主要结果的证明
• 第二章 Lupas q-模拟Bernstein算子的饱和性
• §1 预备知识及主要定理
• §2 主要定理的证明
• 参考文献
• 致谢