王石磊（沙河市劳动技工学校河北邢台054100）
、级数是数学中非常重要的内容，其应用极其广泛。幂级数作为其中一种特殊的函数项级数，有着众多简捷的运算性质，在研究函数方面已成为一个很有用的工具。通过研究幂级数在其收敛区间内可以逐项求导与逐项求积等性质，本文对幂级数在计算级数的和、计算积分、求解微分方程、近似计算等方面的应用展开了详细的、具体的讨论，并给出了具体实例加以说明。
一、计算数项级数的和
已知数项级数an收敛，若求an的和，可根据数项级数的特征，首先构造恰当的幂级数，求出其收敛区间，再根据定理1和定理2求出数项级数的和。
例1.求级数-+-+…的和。
解：令f（x）=-+-+…（-1<x<1）为所给级数的相应幂级数，微分两次：
f″（x）=x-2x2+3x3-4x4+…（-1<x<1），
xf″（x）=x2-2x3+3x4-4x5+…，
f″（x）+xf″（x）=x-x2+x3-x4+x5+…，
（1+x）f″（x）=x-x2+x3-x4+x5+…=（-1<x<1），
f″（x）=。
再逐项积分得：
f`(x)==1n（1+x）+-1，（-1<x<1）
f(x)=f`(x)dx=（x+2）1n（x+1）-2x，（-1<x<1）
根据上述结论：
-+-…
=l1mf（x）
=l1m[（x+2）1n（1+x）-2x]
=3ln2-2
二、计算特殊类型的不定积分
灵活运用基本的积分方法，就能求出许多不定积分，然而对于某些特殊类型初等函数的积分来说，基本方法显然是不够的。比如∫dx类型的有理函数不定积分，如果用积分的基本方法，先把假分式化为多项式与真分式的和，再把真分式分解为部分分式，然后逐项积分，在理论上是可行的，但具体使用起来计算非常麻烦。幂级数对上述类型的不定积分的计算很简便，只要将pn（x）在x0点展成级数。
pn（x）=pn（x0）+（x-x0）+…+（x-x0）n
此时：
=++＋…+
上式的每一项积分都很容易求得。
例2.计算∫dx。
解：设f（x）=6x4-5x3+4x2+1，将其在x=2点展开
f(x)=73＋（x-2)＋（x-2)2＋（x-2)3＋（x-2)4，
所以∫dx
=∫dx+∫dx+∫dx+∫dx+∫6dx
=---+431n|x-2|+6x+c。
三、在微分方程中的应用
能用初等积分方法求解的微分方程毕竟是很少部分，除了求解过程中遇到的困难外，还由于一些重要的微分方程的解不是初等函数，但可以用幂级数来表示，从而达到简便求解的目的。
例3.求解方程（1-x2）y″-2xy′+n（n+1）=0。
解：p1（x）=-、p0（x）=都可以在-1<x<1内展为x的幂级数。
设解为y=akxk，（2）
y′=kakxk-1，（3）
y″=k（k-1）akxk-2，（4）
把（2）、（3）、（4）代入原方程得：
k（k-1）akxk-2-k（k-1）xk-2kakxk+n（n-1）akxk=0，
[（k+2）（k+1）ak+2-k（k-1）ak-2kak+n（n+1）ak]xk=0，
即ak+2=-akk=0，1，2…
依次令k=0，1，2…，得：
a2=-a0，
a3=-a1，
a4=-a2=a0，
a5=-a3=a1，
……
因为a0、a1可任意取值，于是通解为：
y=a0[1-x2+x4-…]＋
a1[x-x3+-…]
运用幂级数也可求微分方程的近似解，其思想就是把级数代入到微分方程中逐项求出级数的系数，然后取前若干项作为近似解。
四、在近似计算方面的应用
计算定积分的方法很多，然而利用这些方法的前提是原函数可以用初等函数表示出来。当f（x）的原函数难以求出或不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算f（x）的定积分就遇到了困难。此时我们可以尝试用幂级数来计算这些定积分的近似值。必须注意的是，在这个过程中，被积函数能够展成收敛的幂级数，并且积分的区间必须在幂级数的收敛域之内，最后用逐项积分来计算值。
例4.计算积分e-x2dx。
解：因为e-x2的原函数不是初等函数，所以无法应用公式直接计算，这样可尝试把e-x2展开为幂级数进行近似计算。
我们知道ex=1+x++…++…（-∞<x<+∞），
用-x2代替x得e-x2=1+x2++…++…（-∞<x<+∞），
所以e-x2dx=（1-x2+-＋…）dx
=[x-+x5-x7+x9-…]|00.2
≈0.1973。
幂级数的结构和性质决定了它的应用非常广泛，利用幂级数这个工具可以很好地解决学习中遇到的一些疑难问题，从而达到简化解题过程、提高学习效率的目的。