受极大子群影响的群的若干基本性质

论文摘要

用极大子群来刻划群的结构是群论研究中很重要也是很有效的方法之一。文献[20]研究了含极大子群为单群的非单有限群的结构。受其影响，本文主要通过对含极大子群为单群的群的研究，探讨了群的单性。另外，也通过群的某些特殊极大子群对群的可解性作了一些研究。值得说明的是，我们这里并不限定群的有限性。本文的主要结论如下：关于群的单性的结论定理3．1设群G的任一极大子群都是单群，若G中存在一个非正规极大子群满足性质（?）。那么G是单群。（我们称群G满足性质（?）是指存在X（?）G，使得G=，且存在x0∈X，使得1≠<Xx0>≠G．）定理3．2设G为有限生成群，如果群G的任一极大子群都是非正规的单群，那么G是单群。定理3．3设群G的极大子群都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零群，并且两者都存在，如果其中有一个幂零极大子群为有限群，那么G为单群。定理3．4设群G的极大子群都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零群，如果其中有一个幂零极大子群为有限生成群、有一个单极大子群为周期群，那么G为单群。定理3．5设群G的极大子群都非正规，且极大子群要么为单群要么为幂零群，如果其中有一个幂零极大子群M和一个单极大子群R使得R∩M per M.那么G为单群。注：Tarski群是一个二元生成的无限单群且其任一极大子群都是素数阶群（当然非正规）。不难验证Tarski群是满足定理3.3、3.4、3.5的一个例子。推论3．3群G的每一个极大子群都是素数阶群的充要条件是G为Tarski群或pq阶群（允许p=q）。定理3．6 H是群G的非正规单极大子群，如果H中存在非平凡的元素h1，h2在G中共轭但在H中不共轭，那么G为单群。定理3．7 H是群G的单极大子群且H非正规，如果|G：H|≤min{|gG||1≠g∈G)，那么G是单群。关于群的可解性的结论定理4．1设G恰有n个极大子群且都是G的正规子群，那么G只能是有限群，当然G为幂零群。定理4．2群G=<g1，g2，…，gn>，那么群G的极大子群均正规且对每个gi而言与其在G中共轭的元在其所在的极大子群中也共轭的充要条件是G为Abel群。定理4．3若群G是有限生成的，且群G的每个极大子群均可解，则G可解的充分必要条件是：1)G仅有一个极大子群；或者2)Frat（G）不是极大正规子群定理4．4有限群G的所有极大子群均可解，如果G有一个正规子群N满足：存在素数p使得|G|p=|N|p，那么群G可解。定理4．5群G的任一极大子群均幂零，如果存在一个极大子群为有限指数，那么G可解。我们试图利用一些特殊子群将有限群中的经典结论“奇阶群可解”和“pαqβ阶群可解”推广到无限群中去，得出如下结论：定理5．4取π为所有奇数构成的集合，群G是一个π-群，如果其存在一个有限指数的可解子群，那么群G可解。定理5．5取π={p，q}，其中p，q为素数，群G为π-群，如果其存在一个有限指数的可解子群，那么群G可解。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• §1 引言
• §2 预备引理
• §3 极大子群与群的单性
• §4 极大子群与群的可解性
• §5 其它子群与群的性质
• 参考文献
• 致谢