q-导数算子及其应用

论文摘要

Rogers[122]在1893年,用q-导数算子构造了两个q-指数型算子来研究q-级数的某种性质。经过一百多年,Chen-Liu[46,47]又重新独立发现了这两个指数型算子,并首次给出了两个算子恒等式,他们用这两个恒等式系统地研究了大量q-级数问题。受Chen-Liu所给的两个算子恒等式的启发,本文首次推广了Rogers所给的两个指数型算子的表达形式并给出了一些应用。推广后的算子除了能得到原算子能得到的所有公式之外,还能自然的得到推广形式。同时,应用推广后的算子在研究某类q-级数问题时,有着原来算子不可比拟的优越性—如:在证明Heine变换以及Sears终止型及非终止型的3Φ2变换等公式时,我们只要从算子本身的简单性质入手,而不需要其它q-级数公式就可直接得到。应用推广后的算子,我们给出了q-Paff-Salschütz和公式的推广、Sears终止型的4Φ3变换公式的推广以及多重的有限Heine 2Φ1变换公式。应用推广后的算子,我们得到了一些含多重和号的扩张的q-ChuVandermonde恒等。从这些推广中,我们可以给出Dilcher恒等以及Fu-Lascoux公式的扩张形式。另外,我们还用推广后的算子给出了多重的有限Rogers-Fine恒等。应用推广后的算子,我们还可以研究一类广义的Al-Salam-Carlitz多项式的性质,如:生成函数及q-Mehler公式等。作为应用,我们还给出了基本超几何级数的一些形式扩张公式。如:形式扩张Jackson’s 2Φ2公式、Sears三项3Φ2变换公式以及Askey-Roy积分公式等等。最后,在这篇论文中,我们也给出了q-导数算子的一些其他应用。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 主要符号对照表
• 第一章 引言
• 1.1 一般超几何级数
• 1.2 基本超几何级数
• 1.2.1 基本概念
• 1.2.2 基本超几何级数的性质
• 1.3 基本超几何级数的历史与发展
• 第二章 q-导数算子与q-指数算子
• 2.1 q-微分与q-导数
• 2.2 q-指数型算子
• 2.2.1 q-指数型算子定义
• 2.2.2 q-指数型算子性质
• 2.2.3 q-指数型算子收敛判别法则
• 4Φ₃变换公式的扩张'>第三章 Sears终止型的₄Φ₃变换公式的扩张
• 3.1 q-Pfaff-Saalschütz和公式的扩张
• 3.2 有限Heine变换
• 4Φ₃变换公式的扩张'>3.3 Sears终止型的₄Φ₃变换公式的扩张
• 第四章 q-Chu-Vandermonde's和公式的扩张
• 4.1 主要结果
• 4.2 一些推论
• 4.3 其他形式的推广
• 第五章 有限Rogers-Fine恒等的扩张
• 5.1 有限Rogers-Fine恒等的扩张
• 6Φ₅和公式的扩张'>5.2 终止型的₆Φ₅和公式的扩张
• 3Φ₂变换公式'>第六章 Rogers迭代Heine变换与Sears ₃Φ₂变换公式
• 2φ₁变换'>6.1 Rogers迭代Heine的₂φ₁变换
• 3Φ₂变换公式'>6.2 Sears非终止型₃Φ₂变换公式
• 6.3 Rogers-Ramanujan类型恒等
• 第七章 一类Al-Salam-Carlitz多项式
• 7.1 基本概念
• 7.2 生成函数
• 7.3 q-Mehler公式
• 7.4 线形公式
• 第八章 一些q-级数形式扩张公式
• 2Φ₂变换公式'>8.1 形式扩张Jackson的₂Φ₂变换公式
• 3Φ₂变换公式'>8.2 形式扩张Sears三项₃Φ₂变换公式
• 8.3 形式扩张Askey-Roy积分公式
• 8.4 形式扩张Rogers-Fine恒等
• 8.5 证明q-类比Barnes围道积分公式
• 第九章 q-导数算子的一些其他应用
• 9.1 一个q-导数算子恒等式
• 9.1.1 主要结论
• 9.1.2 一些特例
• 9.2 有限q-指数算子
• 9.2.1 主要结论
• 9.2.2 一些应用
• 参考文献
• 附录A q-交换二项式定理及证明
• 6ψ₆求和公式及证明'>附录B Bailey ₆ψ₆求和公式及证明
• 读博期间的研究成果及发表的论文
• 致谢