Zakharov-Kuznetsov型方程行波解的存在性

论文摘要

本文分四章．第一章为引言；第二章研究一类含有两个参数λ，μ的Zakharov-Kuznetsov型方程；第三章和第四章相应于已有文献对KP型方程的研究成果，我们分别用单调性方法和变分方法对一类广泛的非齐次ZK型方程的周期行波解和反周期行波解的存在性进行研究．具体情况如下：在第二章中，我们研究了如下方程：其中为给定的常数．当λ=0，μ=1时，它为KZ型方程；当μ=0，λ=1时为KP型方程．方程（1）是ZK型方程和KP型方程的一个耦合体．我们通过四个引理，最后用山路引理证明了它的行波解的存在性．主要结果为：定理1设以下条件成立：（f1）f∈C1（R，R），f（0）=0且存在p＞3，C1＞0，使得|f’（s）|≤C1|s|+|s|p-2；（f2）存在v∈E使得F（tv）／t2→+∞，（t→+∞）；（f3）存在γ＞2使得（?）u∈R，γF（u）≤uf（u）．则方程（1）存在形如W（x，y，t）=u（x-ct，y）的行波解．在第三章中，我们对下面一类广义的非齐次ZK型方程反周期行波解和周期行波解的存在性进行了研究．这里f∈C1，α＞0，β≥0为已知常数，g*为变量x，y，t的实值函数．首先将问题（2）反周期行波解的存在性问题转化为下面的等价问题：假设：（H1）f：R→R是一单调不增的连续函数；（H2）G∈C（[0，T]；R）．我们有下列定理：定理2设（H1）和（H2）成立，且μ≥0，则问题有唯一解U（s）∈C2[0，T]．定理3设μ≥0且fn，Gn（n=1，2，…）满足（H1）和（H2）．如果fn→f（在C[0，l]），0＜l＜+∞，Gn→G（在C[0，T]），Un是问题的解，则Un→U（在C2[0，T]），这里U是问题（3）的解．定理4设（H1）和（H2）成立，若μ＜0，则当1+（μ／4π）T2＞0时，问题（3）至少有一解方程（2）的周期行波解的存在性问题的处理完全类似于反周期情形．先把它化为等价问题：我们有定理5设（H1）和（H2）成立，且μ≥0，则问题（5）有唯一解U（s）∈C2[0，T]．定理6设μ≥0且fn，Gn（n=1，2，…）满足（H1）和（H2）．如果fn→f（在C[0，l]），0＜l＜+∞，Gn→G（在C[0，T]），Un是问题的解，则Un→U（在C2[0，T]）．这里U是问题的（5）的解．定理7设（H1）和（H2）成立．若μ＜<0，1+(μ／4（2π）1／2)T2＞0，则问题（5）至少有一解U∈C2[0，T]．在第四章中，我们应用变分方法研究方程（2）反周期行波解和周期行波解的存在性．将证明方程（2）周期行波解的存在性问题化为求下面的等价问题的解，通过三个引理，得到主要结果如下：定理8设（ⅰ）若μ≥0，则该问题至少存在一个解U∈Cp2[0，T]（?）C2（R）．（ⅱ）若μ＜0，T＜21／2π／|μ|1／2，则问题（7）至少存在一个解U∈Cp2[0，T]（?）C2（R）．证明方程（2）反周期行波解的存在性问题类似地归结为求如下问题的解：主要结果如下：定理9设定理8的条件成立，（ⅰ）若μ≥0，则问题（8）至少存在一个解U∈Ca2[0，T]（?）C2（R）；（ⅱ）若μ＜0，T＜π／（2|μ|）1／2，则问题（8）至少存在一个解U∈Ca2[0，T]（?）C2（R）

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 方程（1.1）行波解的存在性
• 1 引理
• 2 存在性定理
• 第三章 方程（1.2）反周期行波解及周期行波解存在性的单调性方法
• 1 反周期行波解存在性
• 2 周期行波解存在性
• 第四章 方程（1.2）周期行波解及反周期行波解存在性的变分方法
• 1 周期行波解情形
• 2 反周期行波解情形
• 参考文献
• 致谢