外形设计中的几何逼近及图形转换技术研究

论文摘要

本文围绕计算机辅助几何设计领域中的两类占有重要地位的图形处理技术——几何逼近技术以及图形转换技术展开深入研究．鉴于计算机辅助几何设计中的几何逼近问题主要针对特定的对象，采用逼近的方法用简单易操作的曲线曲面来近似代替原对象，本文主要涉及等距逼近、PH逼近、降阶逼近、合并逼近以及有理曲线多项式逼近．鉴于计算机辅助几何设计中的图形转换主要针对图形之间的渐变转化或精确转化，本文主要涉及手绘图形从首帧变到末帧的形状调配转换以及曲线在不同调配基函数下的互变转换．在系统地论述这两项技术的内容、特点、定义、研究成果的基础上，本文就以下几方面给出了创新的研究成果：（Ⅰ）几何逼近（1）针对目前逼近等距曲线大多采用多项式形式从而导致逼近曲线次数过高的弊病，我们抓住曲线参数速度这个影响等距曲线精确有理化的关键要素，基于Jacobi最佳最小二乘逼近理论，给出了有理Bézier曲线参数速度的有理多项式逼近，从而进一步导出了有理Bézier曲线的等距曲线有理逼近的新算法．该方法保持法矢平移方向，且所得逼近曲线插值原等距曲线端点．（2）针对PH曲线具有等距曲线可有理表示及曲线参数速度为多项式函数等良好特性，然而现有设计方法没有利用曲线的几何参数，因而缺乏几何内在特性导致应用困难的现状，我们以外形设计中最常用的三次PH曲线为基本模型，提出并实现了基于几何参数的一整套PH曲线的插值与逼近算法，其中基本的几何参数包括控制多边形前后两个边向量的长度之比ρ及夹角θ，控制多边形首个边向量的长度L及其与首个控制顶点向量的夹角δ，以及曲线转向Dir．对于一条三次PH曲线的端点插值，推导了其Bézier表示的条件方程．进一步，对于一条非三次PH曲线的保端点逼近，分别给出了基于{δ，θ}，{ρ，θ}以及{ρ，δ}这三种几何参数的算法，导出了相应的逼近误差界．（3）针对NURBS曲面由于节点处理困惑表达形式复杂导致其降阶逼近研究明显缺乏的现状，我们基于NURBS曲面的显式矩阵表示，结合Chebyshev多项式逼近理论，提出一种NURBS曲面降阶新方法．分别对一小片NURBS曲面和整张NURBS曲面进行降多阶，并导出了误差界计算公式．对整张曲面降阶时先分别对各小片操作，再对各片降阶逼近曲面的控制顶点集中其下标相重的部分做加权平均得到最终的整张降阶逼近曲面．提出的算法可以一次降多阶，所得NURBS降阶逼近曲面具有显式表达式，实现了NURBS曲面降阶的最佳或近似最佳一致逼近．（4）针对多段曲线合并为工程急需但从未有人加以研究的现状，我们利用Bézier曲线离散后的矩阵表示，给出不同次数的若干段子曲线可精确合并的统一的矩阵表示．采用广义逆矩阵求解方法求出逼近合并曲线的控制顶点．在合并过程中，同时考虑了合并Bézier曲线在左右端点处与原Bézier曲线族插值或者达到高阶插值的合并．（5）针对有理曲线多项式逼近的精度与速度尚不尽如人意的现状，我们导出有理Bézier曲线多项式逼近的矛盾方程组，进一步基于广义逆矩阵理论，给出了矩阵表示的最小二乘解．结合对于由原有理曲线权因子为Bézier纵标生成的多项式升阶，实现在保持多项式逼近曲线次数不变的同时，有效地提高有理Bézier曲线的多项式曲线逼近的精度．（Ⅱ）图形转换（1）基于艺术图形应用价值高、然而传统手绘方法成本大的现实，我们提出一种新的关键帧动画方法来自动生成艺术手绘图形系列．引入圆域B样条曲线作为艺术手绘图形的轮廓线模型，并对首末两帧圆域B样条曲线的内在几何特征量进行调配．对于给定的艺术手绘图形的首末两帧，首先基于骨架线提取技术给出其骨架线，进一步生成其圆域B样条曲线表示，最后通过插值首末两帧圆域B样条曲线的内在量得到中间帧，从而快速有效地实现艺术手绘图形的形状调配．（2）基于B样条基具有标准全正性和局部支柱性，所构造的曲线兼具保形性及形状局部可调性的现实，同时也基于2003年Delgado和Pe（?）a提出的另一类用标准全正基（DP-NTP基）构造的新曲线虽具保形性及求值运算的线性时间复杂度，但没有形状局部可调性的现实，为了使它们实现优势互补，并在不同的造型系统之间进行数据的交换和传递，我们给出了均匀B样条曲线与DP-NTP曲线的相互转换，其结果可在CAD系统中，尤其在曲线曲面需要快速求值或形状局部可调的场合得到相当广泛的应用．

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 CAGD的简要发展史
• 1.2 CAGD中的几何逼近技术
• 1.3 CAGD中的图形转换技术
• 1.4 本文的主要研究内容和结果
• 第二章 等距曲线有理逼近
• 2.1 引言
• 2.2 曲线参数速度的代数逼近
• 2.3 基于参数速度逼近的Bézier等距曲线有理逼近
• 2.4 有理Bézier等距曲线的代数逼近
• 2.5 演算实例
• 2.6 小结
• 第三章 基于几何参数的三次PH曲线插值与逼近
• 3.1 引言
• 3.2 基于几何参数的三次PH曲线设计
• 3.3 基于几何参数的三次Bézier曲线端点PH插值及保端点PH逼近
• 3.4 三次PH曲线逼近的误差
• 3.5 演算实例
• 3.6 小结
• 第四章 NURBS曲面的显式降多阶逼近
• 4.1 引言
• 4.2 NURBS曲面的显式矩阵表示
• 4.3 NURBS曲面降多阶新算法
• 4.4 误差界估计
• 4.5 演算实例
• 4.6 小结
• 第五章 多段Bézier曲线的逼近合并
• 5.1 引言
• 5.2 对于可精确地合并的条件作统一矩阵表示
• 5.3 多段Bézier曲线的合并逼近
• 5.4 端点插值约束
• 5.5 演算实例
• 5.6 小结
• 第六章 有理Bézier曲线的多项式逼近新方法
• 6.1 引言
• 6.2 基于有理Bézier曲线升阶顶点的多项式逼近
• 6.3 把权值均衡化的重参数化技术引入基于有理曲线升阶顶点的多项式逼近
• 6.4 基于广义逆和权值多项式函数升阶的有理Bézier曲线定次数多项式逼近
• 6.5 小结
• 第七章 基于圆域B样条表示的艺术手绘图形的形状调配
• 7.1 引言
• 7.2 艺术手绘图形的圆域B样条曲线表示
• 7.3 用圆域B样条曲线表示的关键帧的形状调配
• 7.4 演算实例
• 7.5 小结
• 第八章 均匀B样条基与DP-NTP基之间的转换与应用
• 8.1 引言
• 8.2 DP-NTP基函数及均匀B样条基函数
• 8.3 均匀B样条基到DP-NTP基的转换
• 8.4 DP-NTP基到均匀B样条基的转换
• 8.5 转换矩阵的应用与演算实例
• 8.6 小结
• 第九章 未来研究展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读博士学位期间完成论文情况