左阿廷环的Cartan矩阵与余倾斜模

论文摘要

代数表示论兴起于上世纪70年代初，在三十多年的发展历程中，已取得许多重要成果并同趋完善。本文着重讨论了左阿廷环的Cartan矩阵猜想，以及关于余倾斜模的一个等价关系及其余倾斜模的分类。 1954年Eilenberg证明了有限维阿廷环的Cartan矩阵的行列式是±1，并提出了著名的Cartan矩阵猜想：当R是整体维数有限的左阿廷环时，detC(R)=1。这一猜想引起了许多数学家的兴趣，虽然迄今为止并未彻底证明该问题，也未找到与该猜想矛盾的反例，但各国数学家已经在此方面取得了丰硕成果，1974年Donovan和Freislich证明了当R是一个有限表示型的群代数时，detC(R)=1[3]；1983年Zacharia证明了当R的整体维数等于2时，detC(R)=1[5]。1985年Burgess，Fuller和Zimmermann证明了当R是列环时，detC(R)=1[3]；1989年Burgess和Fuller证明了当R是拟遗传环时，detC(R)=1[4]；1998年Burgess和Fuller又进一步证明了此问题，并得到了更广泛的结果。在总结前辈证明该问题的方法的同时，本人也做了一些工作，并取得了初步成果，证明了三个相关结论：R是左阿廷环，(1)若R是规则环，则detC(R)=1；(2)若R的根J是一个投射R模，则detC(R)=1；(3)若R的整体维数等于4，则R一定有一个单模S_i，使得pdS_i=0或2或3。 1982年，D．Happel和C．Ringel在研究遗传代数的基础上提出了倾斜代数的概念，倾斜理论的出现是代数表示理论发展史上的一个重要里程碑。倾斜模在对偶函子的作用下即为余倾斜模，倾斜模与余倾斜模是代数表示理论科学研究中一个十分活跃并且很重要的分支，现在已被广泛应用于各个学科领域。本文讨论了余倾斜模和mod∧的挠对之间的一个等价关系；证明了余倾斜模的垂直范畴对积的封闭性；证明了纯内射模的垂直范畴中一定不含非零的予内射模；最后还讨论了余倾斜模的分类。

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 内容简介
• 2 基础知识
• 2.1 正合列和投射模
• 2.2 投射维数和内射维数
• 2.3 pushout和pullback
• 3 左阿廷环的Cartan矩阵
• 3.1 基本概念
• 3.2 已经得出的一些重要结果
• 3.2.1 拟遗传环的Cartan矩阵
• 3.2.2 整体维数是2的阿廷代数的Cartan矩阵
• 3.2.3 列环的Cartan矩阵
• 3.3 得到的主要结论
• 4 余倾斜模
• 4.1 纯内射模
• 4.1.1 基本概念
• 4.1.2 纯内射模的垂直范畴
• 4.1.3 纯内射模的分解
• 4.2 余倾斜模
• 4.2.1 余倾斜模的定义
• 4.2.2 关于余倾斜模的一个等价关系
• 4.2.3 余倾斜模的分类
• 参考文献
• 作者简历
• 学位论文数据集