论文摘要
本文分为三个部分，分别对应于三章．第一章，我们研究了复Finsler流形到Hermite流形之间的调和映射．通过计算（?）-能量的第一和第二变分公式，我们得到了一些存在性定理和同伦不变定理．在第二章中，我们给出了Finsler流形全测地映射的能量密度的上界估计，由此可以推得Finsler流形到黎曼流形间的广义Schwarz引理．第三章，我们讨论了Asanov度量为局部射影平坦的充分必要条件以及为Douglas度量的充分必要条件．正如著名的国际几何学大师陈省身先生所说，Finsler度量是不受二次型限制的黎曼度量[13].早在1854年黎曼在就职演说中就已提到这种情形．Finsler几何就是研究具有Finsler度量的流形几何性质的学科．近年来，Finsler几何重新得到了重视和发展[11][44][45]．伴随着基础理论的发展，Finsler几何被广泛应用于生物学、物理学、控制论、心理学等方面[1][3][4][8]，至此Finsler几何已经成为微分几何一个重要的分支．·复Finsler流形的调和映照复几何是微分几何研究中的一个重要组成部分，随着量子物理的发展，人们对复结构的研究也越来越感兴趣．类似实Finsler度量的定义，G．Rizza[41]引入了复Finsler度量的定义．近年来，复Finsler度量的研究不断地受到重视和发展[1][5][6][12]．在文[26]中，Kobayashi指出了至少有两个很好的理由来研究复Finsler结构．一是每一个双曲复流形都容有一个自然的复Finsler度量；二是可以作为微分几何的一个工具来研究复向量丛，因为Kobayashi在文[27]中证明了紧复流形上的全纯向量丛E是负的，即其对偶丛E*是正的，当且仅当E上容有一个负曲率的强伪凸的Finsler度量．自此之后，复Finsler度量在复几何的各个领域有了许多的应用．调和映射是微分几何和数学物理的研究中一个重要而有趣的内容．文献[35]提出了Finsler几何的某些未解决的问题,其中之一就是研究Finsler流形间的调和映射．通过利用射影球丛上诱导的体积元，沈一兵教授和莫小欢教授等对实Finsler流形的调和映射进行了许多研究[22][23][33][34][42]．复Finsler流形上的调和映射同样是一个有趣的问题．Nishikawa[38]通过考虑（?）-能量研究了从紧致黎曼面到复Finsler流形的调和映射．当目标流形是复Finsler流形时，能量密度函数的定义会出现严重的奇性，因此我们仅讨论从复Finsler流形到Hermite流形，特别是到Kahler流形的光滑映射．令（M，G）是一个具有强伪凸Finsler度量G的m维复Finsler流形，（N，H）是一n维Hermite流形．φ：M→N是从M到N的光滑映射．则有其中T1,0M表示M的全纯切丛．映射φ的（?）-能量密度定义为其中ω=φ（z），Gij=(Gij)-1，φiα=（?）φα/（?）zi，φjβ=（?）φβ/（?）zj．考虑由光滑映射族诱导的φ=φ0的光滑变分φt．令V0：=dφt（（?）/（?）t）t=0为φ的变分向量场，通过计算我们可以得到（?）-能量泛函的第一变分公式：定理0．1.设（M，G）是一紧致的复Finsler流形，（N，H）是一Hermite流形．φ：M→N是从M到N的光滑映射．则（?）-能量泛函的第一变分公式为其中若（M，G）是紧致的强Kahler Finsler流形，则有：推论0．2．设（M，G）是一紧致的强Kahler Finsler流形,（N，H）是一Hermite流形．φ：M→N是从M到N的光滑映射．则（?）-能量泛函的第一变分公式为调和映射自然地定义为能量泛函第一变分的临界点．注意到V0（z）是M上的任意变分场，Qα（z，v）是PM上的函数．为了给出调和映射的定义，令定义A．φ是调和映射当且仅当‖Q‖≡0．φ是强调和映射当且仅当Qα=0．由定义A易知，全纯映射（或反全纯映射）显然是（强）调和映射．强调和映射显然是调和映射．调和映射的存在性是调和映射研究中的一个基本问题．在文[34]中，莫小欢教授等人给出了从实Finsler流形到黎曼流形间调和映射的存在性定理．另一方面，为了研究Hermite流形M到黎曼流形N间的调和映射，J．Jost和Yau[25]引入了一个非线性椭圆系统，在局部坐标下该椭圆系统可表示为其中γαβ是流形M的Hermite度量，Γjki是流形N的Christoffel记号，满足（1）的映射称为是Hermite调和映射．一般而言，除非M是Kahler流形，否则Hermite调和映射不一定是调和映射．在文[25]中，J．Jost和Yau通过研究椭圆系统（1）的解得到了一些存在性定理。下面假设（M，G）是一紧致的强Kahler Finsler流形，（N，H）是紧致Kahler流形，φ：M→N是从M到N的光滑映射．由定义A，φ是一调和映射当且仅当对任意的变分场V0都有PM上的体积元其中所以（2）可以改写为其中γij（z）：=∫PzMGij（z,v）det(Gkl（z,v）)dσ/∫PzMdet(Gkl（z,v）)dσ,σ（z）：=∫PzMdet(Gkl[（z，v）)dσ，V0是任意的向量场．φ是调和映射当且仅当令φα=fα+（?）fn+α，则（3）改写为其中1≤A，B，C，…≤2n.容易发现（1）与（4）是等价的，因此由J．Jost和S．T．Yau[25]的非线性椭圆系统方面的结果，我们得到下面的存在性定理：定理0．3．若（M，G）是一紧致的强Kahler Finsler流形，（N，H）是具有负截面曲率的紧致Kahler流形．假设ψ：M→N是一连续映射，并且与M到N上闭测地线的映射不同伦，则存在同伦于ψ的调和映射．定理0．4．若（M，G）是一紧致的强Kahler Finsler流形，（N，H）是具有非正截面曲率的紧致Kahler流形．假设ψ：M→N是一光滑映射并且ε（g*TN）≠0，其中ε是欧拉类，则存在同伦于ψ的调和映射f．注：我们同样可以得到类似文[25]中的其它存在性定理．利用射影化切丛PM上的体积测度，我们可以定义映射φ的（?）-能量和（?）-能量：其中cM是（m-1）维复射影空间CPm-1的标准体积．显然，φ是全纯（或反全纯）映射当且仅当E?=0(或E?=0)．令通过比较能量E’（φt）和E"（φt）的第一变分，可以得到这样我们就得到了下面的结果：定理0．5．若（M，G）是一紧致的强Kahler Finsler流形，（N，H）是Kahler流形．则K（φ）在C（M，N）的任一连通分支中是常值，即K（φ）是同伦不变量．其中C（M，N）是从M到N的所有光滑映射组成的空间．注：当（M，G）是通常的Kahler流形时，这就是著名的Lichnerowicz定理（[31]）．由定理0．5，可以得到下面的推论：推论0．6．E’-，E"-和E-的临界点相同，进而，在一个给定的同伦类中E’-，E"-和E-具有相同的极小值．推论0．7．设φ0和φ1是从紧致强Kahler Finsler流形到一Kahler流形的同伦映射，若φ0是全纯的并且φ1是反全纯的，则φ0和φ1都是常值映射．特别地，任意同伦平凡的全纯（反全纯）映射是常值映射．最后，利用映射φ的第二变分公式，我们得到下面的稳定性结果：定理0．8．设（M，G）是一紧致的强Kahler Finsler流形，（N，H）是一曲率平坦的Kahler流形．则从（M，G）到（N，H）的任何调和映射都是稳定的．注：最近，陈滨和沈一兵教授[54]证明了强Kahler Finsler度量和KahlerFinsler度量的定义是等价的，因此上面出现的强Kahler Finsler流形都可以改为Kahler Finsler流形．·实Finsler流形间能量密度的上界估计在第二章中，我们给出了实Finsler流形间全测地映射能量密度的一个上界估计．利用该上界估计，可以推得Finsler流形到黎曼流形间的广义Schwarz引理．设（M，F）和（M，F）分别是n维和m维的实Finsler流形．φ：（M，F）→（M，F）是非退化光滑映射．设{xi，yi}为TM上的局部坐标，（x，[y]）为射影球丛SM中的点，其中[y]={λy：λ>0}表示从原点出发沿y方向的射线．令TM=TM＼{0}，则标准投影映射π：TM→M诱导了射影化余切丛π*T*M→SM，其上存在一整体截面ω：=（?）F/（?）yidxi，称为Hilbert形式．它的对偶向量场是l=yi/F（?）/（?）xi=li（?）/（?）xi，可看作π*TM上的整体截面．{ei}为拉回丛π*TM→SM中对应于基本张量g=gijdxi（?）dxj的一组幺正基，其中gij=1/2（F2）yiyj．众所周知，在拉回丛π*TM→SM上存在唯一的Chern联络c▽，ωji为联络1-形式．Chern联络c▽的曲率2-形式是其中Rj kli=-Rj lki，Pj kai=Pk jai,{ωj，ωn+a}为SM对偶丛上的一组幺正基，这里首先给出几个与本节内容相关的定义：定义B．对于任意X=Xi（?）/（?）xi∈π*TM，关于Chern联络沿X方向的Ricci曲率定义为显然，当X=e时，该Ricci曲率即为通常的数量Ricci曲率．定义C．对于任意的X=Xi（?）/（?）xi，Y=Yi（?）/（?）xi∈π*TM，流形M的关于Chern联络的有向截面曲率定义为一般而言，K（x，y，X∧Y）≠K（x，y，Y∧X）．特别地，当M是通常的黎曼流形时，K为通常的黎曼截面曲率．在什么条件下能够给出流形间映射的能量密度的估计是黎曼几何和Finsler几何研究中的有趣问题．特别地，当流形间的映射是调和映射的时候这便是著名的Schwarz引理．关于Schwarz引理的推广，已有不少结果[16][19][20][48][51]．定义D．设（M，g）和（M，g）是两Finsler流形，φ是M和M间非退化光滑映射．φ*g=Bijωiωj，其中(Bij)=（∑αφiαφjα）为n×n矩阵，其元素为SM上的可微函数．现用λ1（x，y）≥λ2（x，y）≥…≥λn（x，y）>0表示矩阵B（x，y）的特征值．若存在正常数k≥1，使得（?）/（?）≤k，则称映射φ具有k-伸缩．特别地，若M和M都是黎曼流形时，该定义已在文[19]给出．在具有k-伸缩的调和映射的条件下Schwarz引理的推广，最初由S．I．Goldberg．T．Ishihara和N．C．Petridis在文[19]中得到．在第二章中，对于两个实Finsler间的全测地映射,我们给出了能量密度的一个上界估计．具体地我们得到：定理0．9．设（M，F）是一紧致Finsler流形，（M，F）是一Finsler流形．φ是M和M间具有k-伸缩的张力场为零的非退化全测地映射．（xo，yo）∈SM是‖φ*‖的极大值点，其中‖φ*‖=（?），e（φ）为φ的能量密度．设在（xo，yo）∈SM点处，M的Cartan张量和Cartan形式满足|A|≤C1，|▽η|≤C1，|▽η|≤C1，对任意X∈π*TM，M在Chern联络下沿X的Ricci曲率CRicM（X）≥-C3，M在Chern联络下的有向截曲率满足KM≤（?）．M的Cartan张量是C1有界，且C2为其上界．则其中Ci，i=1，2，3，为非负常数，C4为正常数，满足C2<2C4/n2k2．|·|表示关于SM上由TM上Sasaki度量诱导的黎曼度量g取模长．若目标流形为Riemannian流形，上面定理中的全测地映射可以改为调和映射，则由上面的定理我们得到：命题0．10．设（M，F）是n维紧致Finslet流形，（M，F）是m维黎曼流形，φ：（M，F）→（M，F）是具有k-伸缩的张力场为零的调和映射，且（xo，yo）∈SM是‖φ*‖的极大值点．设在（xo，yo）∈SM点处，M的Cartan张量和Cartan形式满足|A|≤C1，|▽η|≤C1，|▽η|≤C1，对任意X∈π*TM，M在Chern联络下沿X的Ricci曲率CRicm（X）≥-C3，M的黎曼截曲率满足KM≤-C4，则其中C1，C3为非负常数，C4为正常数．p=rankφ*（x，y）≥2，|·|表示关于SM上由TM上Sasaki度量诱导的黎曼度量g取模长．当C4≥1/2p2k2（C3+2C1）时，φ是距离递减的．命题0．10正是Finsler流形到黎曼流形间的广义Schwarz引理，该结果已由杜伟平在他的博士论文中得到[55]．当（M，F）也是黎曼流形时，定理中C1为零，由此可得文[19]中的结果．·射影平坦的Asanov度量Finsler几何中一个基本的问题就是研究Finsler度量在开邻域U（?）Rn中的射影平坦问题．Finsler度量在U上射影平坦是指其测地线为直线．这是Hilbert第四问题的正则情况[24]．关于射影平坦（α，β）-度量的研究和构造已经有许多的结果[29][36][40][43][47][52]等．他们研究的度量都是（α，β）-度量，即其中α=（?）是一黎曼度量，β=biyi是1-形式．φ=φ（s）是开区间（-b0，b0）上的C∞正函数，并且满足显然，F是Finsler度量当且仅当对任意x∈M都有‖βx‖α<b0成立．对于某些Finsler度量，如果F=αφ（s）为射影平坦的充要条件是α射影平坦的，β关于α平行，则称这样的射影平坦的（α，β）-度量是平凡的．最近，李本伶和沈忠民教授[30]还对射影平坦具有常旗曲率的（α，β）-度量进行了分类．在文[4]中，Asanov在Minkowski空间中引入了类似于Randers度量特殊的奇性Finsler度量．形式上我们记之为其中g∈（-2，2），h=（?），G=g/h．当g=0时，F是黎曼度量．容易验证这里的函数φ（s）满足上面的（6），因此F是一个（α，β）度量，我们称之为Asanov度量．对于Asanov度量，我们得到了下面的结果：定理0．11．Asanov度量是局部射影平坦的当且仅当以下条件成立：（a）β关于α是平行的，（b）α局部射影平坦的．换言之，α具有常截面曲率．由上面的定理，我们知道射影平坦的Asanov度量是平凡的．Douglas证明了一个Finsler度量F是射影平坦的充要条件是两个特殊的曲率张量等于零．一个是Douglas张量，另一个是Weyl张量（n≥3）或Berwald-Weyl张量（n=2），其中n是流形M的维数．射影Weyl张量消失，当且仅当F具有数量旗曲率．Douglas张量等于零的Finsler度量称为Douglas度量．S．Bácsó和M．Matsumoto[7]证明了一个Randers度量F=α+β是Douglas度量，当且仅当β是闭的．M．Matsumoto[32]也证明了当n=dimM≥3，F=α2+β2/α是Douglas度量的充要条件为其中τ=τ（x）是一个标量函数．我们证明了：定理0．12．Asanov度量是Douglas度量的充要条件是β关于α是平行的．