Clifford代数与M(?)bius群

论文题目: Clifford代数与M(?)bius群

论文类型: 博士论文

论文专业: 应用数学

作者: 曹文胜

导师: 周叔子

关键词: 代数,四元数

文献来源: 湖南大学

发表年度: 2005

论文摘要: 本文从代数的观点来研究Mobius变换、Mobius群以及Clifford代数的相关问题。全文的安排如下: 在第一章中,我们主要介绍研究问题的背景和意义以及我们得到的一些主要结果。 在第二章中,我们主要介绍Mobius变换、Clifford代数与双曲空间的一些基本知识。 在第三章中,首先我们应用四元数的实矩阵表示得到了四元数矩阵的Kronecker直积公式。应用此公式得到了方程sum from q=1 to p AqXBq=D有解的充要条件和其通解的表达式。作为特例,此定理导出了四元数线性方程的Cramer法则。其次,由四元数的复表示我们得到了四元数矩阵方程AXB=D有Hermite解的充要条件和通解的表达式。作为应用,我们得到了矩阵方程A*X*B*±BXA=D的有解的充要条件和通解的表达式。 在第四章中,我们讨论了保球四元数Mobius变换g（z）=（az+b）（cz+d）-1的一些性质,得到了由a,b,c,d表示的四元数Mobius变换的不动点的公式。利用此公式得到的动力性质给出了四元数Mobius变换的分类及类型判别法则。 在第五章中,我们考虑由Dieudonne行列式为1的二阶四元数矩阵所定义的四维Mobius变换g（x）=（ax+b）（cx+d）-1。我们应用类似于Ahlfors所创立的方法得到了四维Mobius变换的类型判别公式,并证明此结果包含前一章关于四元数Mobius变换的相应结果和复平面上由矩阵迹表示的经典结果。 在第六章中,应用四元数的实矩阵表示,我们给出了四维Clifford代数中元素的矩阵表示,并研究了此表示的一些基本性质;同时还给出了Clifford数的广义逆的概念,得到了四维Clifford代数元素可逆的充要条件及逆的表达式。作为所得性质的应用,我们得到了线性方程ax=xb通解的表达式。 在第七章中,我们主要研究由Friedland和Hersonsky在1993年于文[69]提出的一个公开问题。我们证明了Friedland-Hersonsky问题当n=2时答案是肯定的,并构造反例说明当n≥3时,Friedland-Hersonsky问题的答案一般是否定的。进一步,我们得到了当n≥3时该问题的答案是肯定的或否定的充分条件。

论文目录:

摘要

Abstract

第1章 绪论

1.1 课题研究的背景及意义

1.2 本文的安排及主要工作

1.3 本文的符号说明

第2章 M(o|¨)bius群与Clifford代数

2.1 空间(?)上的M(o|¨)bius变换

2.2 M(o|¨)bius变换的Clifford矩阵表示

2.3 双曲空间的几种模型

第3章 四元数与矩阵方程

3.1 四元数的相关知识

3.2 四元数的Kronecker直积

3.3 四元数矩阵方程AXB=D的Hermite解

3.4 四元数矩阵方程A~ X~ B~ -BXA=D

第4章 四元数M(o|¨)bius变换

4.1 引言

4.2 基本知识

4.3 不动点与右特征值

4.4 一些例子

第5章 四维M(o|¨)bius变换

5.1 引言

5.2 情况c=0

5.3 主要结果的应用

5.4 主要定理的证明

第6章 四维Clifford代数的矩阵表示及应用

6.1 引言

6.2 C_4中元素的逆与广义逆

6.3 线性方程ax=xb

第7章 Friedland-Hersonsky问题

7.1 Friedland—Hersonsky问题

7.2 反例及几则引理

7.3 两则充分条件

结论

参考文献

致谢

附录A 作者攻读博士学位期间发表的论文

发布时间: 2005-09-27

参考文献

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• [4].四元数的表示以及四元数矩阵的秩[D]. 王不了.国防科学技术大学2012
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• [6].大维四元数随机矩阵的谱分析及其应用[D]. 尹燕青.东北师范大学2016
• [7].两类四元数问题的算法研究和广义逆的扰动分析[D]. 凌思涛.华东师范大学2010
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• [9].关于半环上广义逆矩阵以及四元数矩阵方程的若干研究[D]. Israr Ali Khan（阿里）.上海大学2011
• [10].四元数矩阵代数中的若干问题研究[D]. 程薇.国防科学技术大学2009

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