McMullen映射动力系统与具有旋转域的有理映射的Thurston型定理

论文摘要

这篇博士论文主要包含两方面：·McMullen映射动力系统.在这一部分,我们研究有理映射Julia集的局部连通性.我们利用Yoccoz拼图技术研究了McMullen映射的Julia集的拓扑性质.我们证明了如果McMullen映射的Julia集不是Cantor集,则无穷远点的直接吸引域的边界总是Jordan曲线.这个结果肯定的回答了Devaney提出的一个公开问题.我们进一步证明了如果Julia集不是Cantor集,则无穷远点的直接吸引域的边界在除了两种特殊情况下都是拟圆周；如果Julia集连通,则在绝大多数情况下都是局部连通的.·临界有限有理映射的Thurston理论以及临界无限有理映射的Thurston型定理在这一部分,我们建立了非抛物分支覆盖的分解定理：任何非抛物的分支覆盖总可以沿着一个不变的多重曲线分解为有限个Siegel映射和Thurston映射,使得这有限个映射的组合性质和有理实现决定了原来的分支覆盖的相应性质.并且原分支覆盖的全纯模型可以通过这些分解得到的Siegel映射和Thurston映射的全纯模型沿着多重曲线进行重建.由分解得到的这些映射可以视为原映射的重整.利用分解定理,我们可以得到一大类有理映射的Thurston型定理.特别地,它蕴含了具有Herman环的有理映射的Thurston型定理总是可以约化为有限个具有Siegel盘的有理映射的Thurston型定理.利用分解定理,我们可以将临界有限有理映射的Thurston定理推广到很多临界无限的情形,从而给出具有吸引循环,Siegel盘,Herman环的有理映射的拓扑刻画.同时我们可以利用分解定理构造出很多没有Thurston障碍,但是不能组合等价于有理函数的分支覆盖.

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 第一章 主要定理
• 1.1 概述
• 1.2 McMullen映射动力系统
• 1.3 分解定理与Thurston型定理
• 1.4 一个Mandelbrot集
• 1.5 半纯不变线域
• 第二章 复分析与共形几何
• 2.1 度量导数与正规族
• 2.2 共形模
• 2.2.1 面积-模不等式
• 2.2.2 Grotzsch常数与模
• 2.2.3 面积-模不等式的其它形式
• 2.3 偏差定理
• 2.4 拟共形映射
• 2.5 全纯运动
• 第三章 McMullen映射Julia集的局部连通性
• 3.1 背景介绍
• 3.2 McMullen映射的基本性质
• 3.2.1 一些记号
• 3.3 动力学平面的切割线
• 3.3.1 圆周上的Cantor集
• 3.3.2 切割线
• 3.4 图,Yoccoz拼图片和图表
• 3.4.1 Yoccoz拼图片
• 3.4.2 容许图（Admissible graphs）
• 3.4.3 修正的拼图片
• 3.4.4 图表（Tableaux）
• 3.5 重整化
• 3.5.1 临界图表的周期性意味（*-）重整
• 3.5.2 重整的一个性质
• 3.6 局部连通性的一个判据
• λ是Jordan曲线'>3.7 （?）B_λ是Jordan曲线
• 3.7.1 任何临界点的图表都是非周期的
• 3.7.2 存在周期的临界点的图表
• 3.7.3 实参数
• 3.7.4 局部连通性意味着更高的正则性
• 3.7.5 几个推论
• λ）的局部连通性'>3.8 Julia集J（f_λ）的局部连通性
• 第四章 分解定理与Thurston型定理
• 4.1 背景介绍与主要定理
• 4.2 Herman映射的分解
• 4.2.1 标记圆盘扩张
• 4.3 组合部分:约化恒等式
• 4.4 手术部分:全纯模型的粘合
• 4.4.1 从整体到局部
• 4.4.2 从局部到整体,Γ=Φ
• 4.4.3 从局部到整体,Γ≠Φ,技巧性部分
• 4.5 分解部分Ⅱ
• 4.5.1 Hole-filling过程
• 4.5.2 具有常数复杂性的曲面拼图
• 4.5.3 标记圆盘扩张
• 4.6 组合部分Ⅱ
• 4.6.1 排斥系统的多重曲线
• 4.6.2 没有Thurston障碍的约化
• 4.7 手术部分Ⅱ
• 4.8 定理??的证明
• 4.9 分析部分
• 4.9.1 类有理映射
• 4.9.2 有理映射的重整
• 4.9.3 Herman-Siegel重整
• 4.9.4 拟共形组合等价与Mobius共轭
• 4.9.5 组合等价与Mobius共轭
• 4.10 分解定理的应用
• 4.10.1 双曲有理映射的拓扑刻画
• 4.10.2 具有Siegel盘的有理映射的拓扑刻画
• 4.10.3 具有Herman环的有理映射的拓扑刻画
• 4.11 没有Thurston障碍与有理实现
• 第五章 重整化变换函数族的Mandelbrot集
• 5.1 内容提要
• 5.2 临界点与俘获域
• 5.3 定理??的证明
• 5.4 定理??的证明
• 第六章 半纯不变线域的分类
• 6.1 定理的证明
• 参考文献
• 致谢
• 已完成或发表的论文著作