偏微分方程曲面造型方法的若干问题

论文摘要

用偏微分方程(PDE)构造曲面是一种新兴的曲面造型方法。它由英国Leeds大学的M.I.J Bloor和J.wilson于上世纪80年代末将之引入到CAGD领域,其思想源于将过渡面的构造问题看作一偏微分方程的边值问题。 与传统的曲面造型方法,如:Coons曲面片构造方法、Bézier方法以及B样条方法、NURBS方法等(它们都是通过控制内点来达到控制曲面的目的)不同,PDE方法却是通过参数、边界条件或者右端项来控制曲面。PDE方法生成的曲面光滑,而且求解偏微分方程也有许多成熟的方法,实现起来相对比较容易。 本文首先总结了国内外一些经典的由散乱数据实现曲面重建的算法,对PDE曲面造型的原理和应用进行了概述。接着,重点描述了一种根据偏微分方程曲面造型的特点,利用PDE方法进行散乱数据曲面重构的方法。 作为最具普遍性的曲面重建问题,散乱数据曲面重建无论在理论上还是在实用上都有重要意义。散乱数据可以包括点,线,甚至曲面片。本文应用PDE方法进行散乱数据曲面重构方面的研究和数值实验。首先对散乱数据进行三角剖分,计算各三角网格中每一顶点的法矢,然后计算各空间三角网格上的边界条件。最后,根据确定的这些边界条件构造满足这些边界条件的偏微分方程,其解便是满足边界条件并插值于三角形三个顶点的三角曲面片。整个过程中,关键是边界条件的确定(方程的求解已有差分、有限元等方法).作者采用三次Bézier曲线构造边界,避免了由于采用二次Bézier曲线而产生的尖点,并利用顶点法矢构造边界上的跨界导矢。 最后,对重建方法的后续工作进行了展望。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 散乱数据三维重建方法综述
• 1.3 PDE曲面造型方法的发展现状
• 1.4 本文的结构
• 2 偏微分方程（PDE）曲面造型方法
• 2.1 偏微分方程构造曲面的基本原理
• 2.2 用PDE方法构造过渡曲面
• 2.3 N边域曲面
• 2.4 PDE方法在自由曲面设计中的应用
• 2.5 曲面的交互设计
• 2.6 小结
• 3 三角网格上PDE方法构造的插值曲面
• 1连续插值曲面的过程'>3.1 用PDE方法构造整体GC¹连续插值曲面的过程
• 3.2 三次Bezier边界曲线的构造及跨界导矢的确定
• 1连续三角曲面片的PDE构造方法'>3.3 GC¹连续三角曲面片的PDE构造方法
• 结论
• 参考文献
• 致谢
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