邓帮红（石柱县土家族黄水中学重庆石柱409100）
【摘要】四面体的相关问题经常作为高考和竞赛的考题背景，自然也就成为中学数学研究的重点之一.本文首先用代数和几何两种不同的方法讨论了:六正数构成四面体六条棱长的充要条件，然后又从平面几何和立体几何两个角度对充要条件的应用展开了较深入的思考,然后再根据这个充要条件推导出了四面体的六棱求积公式等一系列重要的结论，最后本文把三角形的两个优美的结论，在四面体中作了类比推广，同时也是对《中学数学研究》提出的:数学疑难系列之六，做了完整的回答。
【关键词】四面体；充要条件；余弦定理
1.引言
我们知道三角形和四面体分别是平面几何和立体几何中最简单的封闭图形,在过去的学习过程中,我们对三角形的相关性质研究得比较多,也得出了很多优美的结论.但是对于四面体的相关问题的研究就显得较少,可以说四面体是一片很有开发空间的“土地”,可以成为中学数学探究性学习的很好的课题,同时也可以作为中学数学教师加强数学基本功练习的不错的素材.本文就不同角度对四面体的一些基本性质做了比较深入的思考,也得出了很多重要的结论.
2.六正数构成四面体六棱长的充要条件
(其中:和，和，和各为四面体的一组对棱).
2.1定理1的代数证明
2.2定理1的几何证明
2.3关于定理1的说明及推论
2.4定理1及其推论的应用
3.三角形的两个性质在四面体中的类比推广
类比是根据两类不同对象之间在某些方面有相同或相似之处，猜测它们在其他方面也可能相同或相似，并做出某些判断的方法.在中学数学教学过程中，类比思想是一种重要的具有创造性的思想，有助于发现、解决问题，是数学知识拓展的原动力之一.由于三角形和四面体分别是平面几何和立体几何中最简单的封闭图形，下面就三角形的两个性质在四面体中做类比推广.
3.1五心俱全且有两心重合的四面体为正四面体
大家都知道一个三角形有外心，内心，重心，垂心，界心(4)并且有两心重合的三角形为正三角形.
文[3]提出了数学疑难之6:四心俱全且有两心重合的四面体是否正四面体?.是一个十分有趣的问题,经过笔者的研究发现，对于四面体而言我们有如下定理：
定理4五心(即四面体的外心,内心,重心,垂心,)俱全且有两心重合的四面体为正四面体.
为了得到定理4,我们先给出以下三个引理:
证明:如图12,点P为四面体ABCD的垂心和内心,连结PA,PB,PC,PD,并延长DP,AP分别交面ABC,BCD于点O,Q,连结AO,DQ,Q,P为四面体垂心,∴PO=PQ又∠APO=DPQ,∴ΔAPO≌ΔDPQ,所以:AP=DP.同理可得AP=BP=CP=D=,∴点P为四面体ABCD的外心,所以:四面体ABCD的垂心和外心重合.由结论2可知,四面体ABCD为正四面体.
命题4垂心存在且内心和外心重合的四面体为正四面体.
当四面体ABCD的垂心和重心重合或外心和重心重合时,由引理3可知,垂心和重心重合,再由命题2可得如下结论:
命题7垂心和重心重合的四面体为正四面体.
命题8垂心存在且重心和外心重合的四面体为正四面体.
当四面体ABCD的垂心存在,且外心和界心重合时,由引理3可知,垂心和内心重合,再由命题3可得如下结论:
命题9垂心存在且外心和界心重合的四面体为正四面体.
当四面体ABCD的垂心和界心重合时,由引理3可知,内心和外心重合,再由命题4可得如下结论:
命题10垂心和界心重合的四面体为正四面体.
综上命题1到命题10可知:五心俱全且有两心重合的四面体为正四面体，从而定理4得证.但如果四面体的垂心不存在,则命题1,命题4,命题5,命题6的结论应为等腰四面体(三组对棱分别相等的四面体),证明略.
3.2四面体余弦定理
普通高级中学课本在高一(下)向量部分给出了解斜三角形的一个有力工具——余弦定理，下面我们就把余弦定理类比推广到四面体中，不妨称之为“四面体余弦定理”.
以上即为“四面体余弦定理”的内容，证明及表达式.
如果在四面体ABCD中从一点出发的三条棱，两两垂直即共点的三个面两两垂直，不妨设D为此顶点，此时有：，
.由四面体余弦定理可得，这就是勾股定理在四面体中的推广，可以称为“四面体勾股定理”.
参考文献
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