论文摘要
本文研究有限p-群的某些子群的性质对有限p-群结构的影响,及有限单群的数量刻画.有限群研究的最终目的是分类所有的有限群.有限p-群作为有限群的一个基础群类,其完全分类应该首先得以完成,然而目前有限p-群的完全同构分类是不可实现的.现实条件下,大家关注的有限p-群分类问题集中在分类子群或商群比较特殊的有限p-群.事实上,这也是目前有限p-群分类中比较容易实现的手段,Z.Janko曾认为：分类具有给定子群结构的有限p-群是一个重要内容和方向.在文[21]中,Redei给出内交换p-群的定义.一个自然的问题是“分类具有内交换的极大子群的有限p-群”,这就是文[7]中的问题239.本文完成了具有交换和内交换极大子群的有限p-群的完全分类.1971年,Spencer和Armond. E在文[32]中首先给出（s-）自对偶群的定义.2008年,Y,Berkovich和□Z.Janko在他们的有限p-群的专著[6]中提出分类有限自对偶群的公开问题.2010年,安立坚给出有限（s-）自对偶p-群的具体结构.一个自然的问题是能否分类有“最大”（s-）自对偶子群的有限p-群.本文定义了内（s-）自对偶p-群,并完全分类了这类p-群.有限单群分类完成后,对单群结构的认识变得非常重要。过去30年,在国内外兴起了用单群的数量性质刻画单群.本文利用单群的极大交换子群阶的集合、单群的阶两个数量分别研究了一些系列单群得到了它们的刻画或者分类.全文共分五章.第一章为本文的引言,简述了本文的主要工作及其历史背景,并列出本文所用到的一些基本概念和定理.第二章给出了含有交换和内交换极大子群的有限p-群的完全分类.第三章我们引入了内（s-）自对偶p-群和极小非（s-）自对偶p-群的定义.并给出了它们的完全分类.第四章利用群的极大交换子群阶的集合刻画了单群2F4（22n+1）,A1（pn）,其中pn>2,n≥1,且利用群的阶和群的极大交换子群阶的集合刻画了单群F4（2n+1）：n≥1.第五章给出了阶为2n·3·p1·p2…Pm的单群.
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