关于某些组合序列及相关矩阵的若干结果

论文摘要

本文研究了一些组合序列以及与组合序列有关的矩阵,主要内容概括如下:第一章介绍了组合序列及矩阵相关理论的发展,而后两章则是本文所得的结果。第二章对一些组合序列进行了研究,这一章的内容分为两个部分。第一部分研究了Apostol-Bernoulli多项式与Apostol-Euler多项式。在这里,我们得到了广义Apostol-Bernoulli多项式与广义Apostol-Euler多项式的关系式,并给出了Apostol-Bernoulli多项式与Apostol-Euler多项式乘积之和的确切表达式。第二部分研究了指数型部分Bell多项式和Sheffer序列。我们首先利用指数型部分Bell多项式给出Sheffer序列的两个刻画,接着用相伴序列和Sheffer序列替换Bell多项式中的变量x1,x2,…,从而导出许多一般的恒等式。在第三章,我们研究了与组合序列有关的矩阵,这一章的内容也分为两个部分。第一部分给出了Bell矩阵和迭代矩阵的分解,由此为许多在组合学中出现的下三角矩阵提供了统一的分解方法。在第二部分,我们建立了广义Riordan阵理论。在这里,我们不仅研究了广义Riordan阵的基本性质,而且还研究了广义Riordan阵与广义Sheffer序列的关系,并证明了Riordan群与Sheffer序列构成的群是同构的。基于这一事实,我们由Sheffer序列得到了许多特殊的Riordan阵。此外,我们还讨论了Riordan阵的元素满足的递归关系、Riordan阵的分解、反演关系问题以及连接常数问题。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 引言
• 1.1 选题及国内外研究概况
• 1.1.1 有关组合序列及组合恒等式的研究
• 1.1.2 矩阵方法在组合学中的一些应用
• 1.2 本文的主要内容
• 2 一些组合序列
• 2.1 Apostol-Bernoulli多项式与Apostol-Euler多项式
• 2.1.1 定义与性质
• n^α（χ;λ）与（?）_n^α（χ;λ）的关系'>2.1.2 B_n^α（χ;λ）与（?）_n^α（χ;λ）的关系
• 2.1.3 乘积之和的确切表达式
• 2.2 Bell多项式与Sheffer序列
• 2.2.1 定义与性质
• 2.2.2 Sheffer序列的两个刻画
• 2.2.3 Bell多项式与Sheffer序列确定的恒等式Ⅰ
• 2.2.4 应用与注解
• 2.3 关于Bell多项式的一般恒等式
• 2.3.1 Bell多项式与相伴序列确定的恒等式
• 2.3.2 Bell多项式与Sheffer序列确定的恒等式Ⅱ
• 3 与组合序列有关的矩阵
• 3.1 矩阵的分解
• 3.1.1 Bell矩阵的分解
• 3.1.2 迭代矩阵的分解
• 3.2 广义Riordan阵
• 3.2.1 Riordan阵与Riordan群
• 3.2.2 Riordan阵与Sheffer序列的关系
• 3.2.3 一些特殊的Riordan阵
• 3.3 递归关系及Riordan阵的分解
• 3.3.1 Riordan阵的元素满足的递归关系
• 3.3.2 Riordan阵的分解
• 3.3.3 一些例子
• 3.4 Riordan阵的应用
• 3.4.1 反演关系问题
• 3.4.2 连接常数问题
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表、完成学术论文情况
• 致谢