一类波动方程的非线性微扰问题

论文摘要

波动方程是最广泛的科学论题之一，许多物理问题都可以描述为非线性双曲型方程，其非线性项只依赖于一些不独立变量的导数和小参数ε，如Rayleigh波动方程。因而寻求数学物理中的非线性偏微分方程的精确解，尤其是非线性波动方程的微扰问题成为非线性科学中研究的重要内容之一。对于非线性偏微分方程特别是当带有扰动时，一般很难求得方程的精确解，而且目前这方面的研究还不是很多。因此研究此类非线性方程的求解很有必要。本文分为三章，第一章为引言，首先重点介绍波动方程的非线性微扰问题的背景知识以及它的重要性；然后介绍了前人在此领域的研究成果及现状；最后重点介绍了本文第二章所用到的方法，即多重尺度法和能量方法。第二章，将以Rayleigh波动方程的初始值问题为例，研究一类非线性波动方程的微扰问题。首先利用积分方程和Banach不动点定理证明了，对于所有的-∞＜x＜+∞，0≤t≤T／ε（任意给定的T＞0），解的全局存在性和唯一性；然后利用能量方法及积分方程和Banach不动点定理，得到了解的一致有界性；最后利用能量方法，证明了真实解与渐近近似解的第一项之间的误差由ε乘以一个常数所控制，这个常数只依赖于T而不依赖于x和t。第三章，将具体研究（P．C．）迭代格式的收敛阶。本章研究如下形式的牛顿弦截法的预估校正（P．C．）格式：P（预估）：C（校正）：从理论上严格证明其收敛阶为2.618，并给出数值算例。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 研究现状及成果
• 1.3 研究方法
• 1.4 本文的主要工作
• 第二章 一类波动方程的非线性微扰问题
• 2.1 引言
• 2.2 解的有界性
• 2.3 证明定理
• 2.4 本章小结
• 第三章 牛顿弦截法预估校正迭代格式的收敛阶
• 3.1 引言
• 3.2 牛顿弦截法的预估校正（PC）格式
• 3.3 P.C.迭代法的收敛阶
• 3.4 本章小结
• 参考文献
• 研究成果及发表的学术论文
• 致谢