几类捕食模型平衡态模式的定性分析

论文摘要

模式生成（pattern formation）问题是现代科学技术中一个具有重要理论意义和实际应用背景的研究课题。它描述了自然界诸如生态学、化学反应、基因生成等问题中几种物质相互作用时的结构变化。 本文讨论来自于生态学中的几类反应扩散和交错扩散捕食模型的模式生成问题。对于齐次Neumann边界条件，重点是研究一般扩散和交错扩散对模式生成（即非常数正平衡解）的影响；对于齐次Dirichlet边界条件，重点是分析正平衡解的确切个数和稳定性，并确定解的渐近行为。 我们首先考察了一个具有扩散和交错扩散的Holling-Tanner捕食模型，建立了正平衡解上下界精确的先验估计，得到了非常数正平衡解的存在性和不存在性。所得结果表明，在一定条件下扩散和交错扩散都能导致模式生成。 在分析该模型非常数正平衡解的不存在性时，我们使用了所谓的“隐函数定理”方法。该方法在证明非常数正平衡解的不存在性时是相当有效的。同时，它也能应用于诸如著名的Brusselator模型、Belousov-Zhabotinskii反应的Noyes-Field模型以及一类具有比例依赖响应函数（ratio-dependent functional response）的捕食模型等平衡态问题的研究，从而极大地改进了这些模型非常数正平衡解不存在性的已有结果。 另外，对于Brusselator模型，同Brown-Davidson及Erneux-Reiss等人的研究工作相比较，我们获得了一些更精细的先验估计，从而利用拓扑度方法改进了他们得到的关于非常数正平衡解的存在性结果，减弱了分支存在的条件。对于Belousov-Zhabotinskii反应的Noyes-Field模型的正平衡解，我们获得了最优的先验估计结果，细致地分析了模式生成问题，从而补充和完善了Yamada的工作。对于Gray-Scott模型，我们极大地改进和补充了Pearson、McGough以及Kiley等人的工作，获得了更好的先验估计和判断模式

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• 1.1 研究工作的背景和发展概况
• 1.2 本文的主要工作
• 第二章 具有扩散的Holling-Tanner捕食模型的平衡态模式
• 2.1 模型的背景与问题的提出
• 2.2 预备性结果
• 2.3 （2.1.4）非常数正解的不存在性
• 2.4 （2.1.4）非常数正解的存在性
• 2.4.1 非常数正解的存在性
• 2.4.2 非常数正解的分支
• 第三章 具有交错扩散的Holling-Tanner捕食模型的平衡态模式
• 3.1 模型的背景与问题的提出
• 的稳定性'>3.2 正常数平衡态解u的稳定性
• 的局部稳定性'>3.2.1 u的局部稳定性
• 的全局稳定性'>3.2.2 u的全局稳定性
• 3.3 （3.1.3）正解的先验估计
• 3.4 （3.1.3）非常数正解的存在性与不存在性
• 3.4.1 非常数正解的不存在性
• 3.4.2 非常数正解的存在性
• 第四章 具有扩散的其它模型的平衡态模式
• 4.1 具有比例依赖响应函数的捕食模型的平衡态模式
• 4.2 具有比例依赖响应函数的食物链模型的平衡态模式
• 4.3 Brusselator模型的平衡态模式
• 4.4 Belousov-Zhabotinskii反应的Noyes-Field模型的平衡态模式
• 第五章 一个捕食模型正解的个数和稳定性
• 5.1 模型的背景与问题的提出
• 5.2 预备性结果
• 5.3 定理A的证明
• 第六章一个捕食模型在退化环境中的平衡态模式
• 6.1 模型的背景与问题的提出
• 6.2 （6.1.1）正解的存在性
• 6.3 当β→0时,带有尖点的平衡态模式
• 6.4 三个捕食模型平衡态模式的比较
• 6.5 一个注记
• 参考文献
• 附录一 攻博期间完成论文列表
• 附录二 学术交流活动、参加或主持科研项目
• 附录三 致谢