TSVD方法在数值微分及图像恢复问题中的应用

论文摘要

反问题是目前具有交叉性的计算数学,应用数学和系统科学中的研究热点问题,在各种领域中都有深刻的应用背景。反问题通常是不适定的,反问题求解的本质性困难是解的不稳定性,即方程的解（如果存在）不连续依赖于右端的数据,当右端的数据有误差时,其解与真解之间会产生很大的误差,此时必须采用特殊的求解方法才能得到合理的结果。当前,求解不适定问题最常见有效的方法是正则化方法,建立有效的正则化方法,正则参数的选取以及算法实现是反问题研究的三大核心问题。本文首先从一些实例出发,介绍了反问题和不适定问题的基本概念,并讨论了方程的Moore-Penrose广义解和Moore-Penrose广义逆,以线性自伴紧算子的谱分析与紧算子奇异值分解为理论基础,利用奇异系给出了解的表达式,得出了线性紧算子方程的不适定性,即Moore-Penrose广义解的不稳定性的结论,说明了紧算子方程解不稳定的根源在于紧算子的奇异值趋于零的性质。由此通过引入正则化滤子函数来减弱或滤掉奇异值趋于零的性质对解的稳定性的影响,构造正则算子,从而提供了建立正则化方法的理论依据。反问题的数值计算通常需要将问题离散化,此时TSVD（谱截断）正则化方法是十分简单有效的正则化方法。文中详细讨论了TSVD正则解的误差估计与正则参数的选取问题,通过正则参数的先验和后验选取,证明了TSVD正则解的误差具有渐进最优阶。作为TSVD（谱截断）正则化方法的应用,文中研究了两个不同领域中典型的不适定问题:数值微分问题和图像复原问题。数值微分问题是不适定的,为了得到近似已知函数稳定的近似导数,并且能够很好地反映导数的间断情况,本文讨论了pp-TSVD方法,其正则解可以在没有任何先验信息的情况下反映解的间断性,我们将这种方法应用于数值微分问题,数值实验说明这种方法对反映导数的间断情况十分有效。本文还研究了在Neumann边界条件假设下,具有对称及平移不变性的点扩散函数的数字图像复原问题.文中将此类图像复原问题转化为不适定的解卷问题,并分析了离散卷积算子的性质,进而将TSVD方法应用于解卷问题,通过快速余弦变换给出了相应的图像复原的算法。实验说明了算法的有效性。

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 第一章 引言
• 1.1 反问题与不适定问题
• 1.2 数值微分问题
• 1.3 Moore-Penrose广义逆
• 第二章 紧算子的谱理论
• 2.1 紧算子的奇异值分解
• 2.1.1 Hilbert-Schmidt定理
• 2.1.2 紧算子的奇异值分解
• 2.2 紧算子方程广义解的存在性与不稳定性
• 第三章 基于谱分析的正则化理论
• 3.1 正则化的定义
• 3.2 正则解的误差与正则参数的选取
• 3.3 正则化滤子函数
• 3.4 几种正则化方法
• 第四章 TSVD正则化方法
• 4.1 TSVD正则化方法及其误差分析
• 4.2 正则参数的选取
• 4.2.1 正则参数的先验选取
• 4.2.2 正则参数的后验选取
• 第五章 PP-TSVD方法及在数值微分问题中的应用
• 5.1 PP-TSVD正则化方法
• 5.2 数值微分
• 第六章 NEUMANN边界条件下图像复原的TSVD算法
• 6.1 解卷问题
• 6.1.1 离散卷积和与离散Fourier变换
• 6.1.2 解卷问题
• 6.2 离散卷积算子的性质
• 6.3 TSVD算法及图像复原实验
• 参考文献
• 致谢
• 附录