对称锥优化问题的扰动分析

论文摘要

本论文主要建立对称锥的变分分析并给出对称锥优化问题扰动分析的理论结果,主要内容可概括如下:1.第2章基于欧氏Jordan代数的性质,研究了对称锥的变分性质。首先推导了对称锥上投影算子B-次微分的计算公式以及对称锥的切锥、二阶切集的表达式。然后定义了对称锥上的线性-二次函数,建立了线性-二次函数与对称锥二阶切集的支撑函数的关系。2.第3章在前一章研究的基础上,阐述了对称锥优化问题的扰动理论结果。首先证明了对称锥具有外二阶正则性,从而给出对称锥优化问题无间隙的二阶最优性条件。其次引入对称锥优化问题两种形式的强二阶充分性条件,其中之一通过一线性-二次函数定义,另一个用二阶切集的支撑函数定义。之后,对于上述两种强二阶充分条件重合的非凸对称锥优化问题,得到了下述条件的等价性:约束非退化条件下的强二阶充分条件,KKT条件对应的广义方程的解的强正则性,KKT条件对应的非光滑映射（简称KKT映射）的Clarke广义微分的非奇异性,优化问题局部最优解的强稳定性,以及其他4条结论相互等价。特别地,对于凸对称锥优化问题,不需要任何假设,上述9条性质均等价,且等价于KKT映射的B-次微分的非奇异性。最后,对于线性对称锥优化问题,首先刻画了对偶严格约束规范与二阶充分性条件的等价关系;然后证明了上述10条等价性质与原始对偶约束非退化条件的等价性。3.第4章具体推导了二阶锥、半正定实对称矩阵锥、半正定复Hermite矩阵锥以及半正定四元数Hermite矩阵锥二阶切集的表达式,并证明了这四种情况下二阶切集的支撑函数与对应的线性-二次函数是相等的,从而得到了当K同构于有限多个上述四种类型的锥的卡氏积时,第3章提出的两种形式的强二阶充分性条件等价,因此对于上述形式的K,第3章中关于锥优化问题扰动理论的等价性结论是成立的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 对称锥优化问题
• 1.2 扰动分析的研究现况
• 1.2.1 非线性规划
• 1.2.2 二阶锥规划
• 1.2.3 半定规划
• 1.3 本文的主要工作
• 1.4 预备知识
• 1.4.1 方向导数与Clarke广义微分
• 1.4.2 切锥，法锥与二阶切集
• 1.4.3 欧氏Jordan代数
• 2 对称锥的变分分析
• 2.1 Jordan代数的空间分解
• 2.2 对称锥的变分性质
• 2.2.1 对称锥上的投影算子的微分性质
• 2.2.2 对称锥中元素的矩阵表示
• 2.2.3 对称锥的切锥与二阶切集
• 2.3 线性-二次函数
• 3 对称锥优化问题的扰动分析
• 3.1 对称锥优化问题的最优性条件
• 3.1.1 约束规范与一阶最优性条件
• 3.1.2 外二阶正则性
• 3.1.3 二阶最优性条件
• 3.2 扰动分析
• 3.2.1 强正则性
• 3.2.2 KKT点的强正则性
• 3.2.3 强正则性的等价条件
• 3.3 凸对称锥优化问题
• 3.4 线性对称锥优化问题
• 4 五种具体对称锥的二阶切集
• 4.1 正卦限锥
• 4.2 二阶锥
• 4.3 半正定矩阵锥
• 4.4 半正定复Hermite矩阵锥
• 4.5 半正定四元数Hermite矩阵锥
• 4.6 小结
• 结论与展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间学术论文完成情况
• 论文创新点摘要
• 致谢
• 作者简介