广义N=1，2超Virasoro代数的超双代数结构及表示

论文摘要

众所周知,Virasoro代数作为一类无限维李代数,是线性微分算子（ti＋1d/（dt）|i∈Z）组成的无限维复李代数（Witt代数）的普遍中心扩张,其结构和表示在数学和理论物理的许多方面具有重要应用.在数学方面,Virasoro代数的表示对研究仿射Kac-Moody代数,moonshine模,顶点算子代数等都有重要作用.在理论物理方面,可参看Francesco, Mathieu和Senechal所著的共形场论[30]一书.超Virasoro代数及N=2超Virasoro代数可以分别看成是Virasoro代数的非平凡（?）2扩张和N=2超对称扩张,同样受到数学家和物理学家的广泛关注.在量子群理论中,构造既非交换又非余交换的Hopf代数是一个核心问题.我们知道,从Yang-Baxter方程的解得出的量子群是统计量子力学中最令人感兴趣的.对李代数（?）而言,经典Yang-Baxter方程的解（r-矩阵）对应（?）上的一个“三角的”李双代数结构.因此,对带有“三角”结构的李双代数进行量子化就变得非常有意义.2000年,Ng和Taft证明了Virasoro代数上的李双代数结构都是三角上边缘的.本文的第一章从Virasoro代数的一个二维子代数出发,构造出Drinfel’d twist,利用Virasoro代数的普遍包络代数上的标准Hopf代数结构,得到一个新的非交换非余交换的Hopf代数.与传统的量子化不同,我们这里所用的二维子代数是由两个非局部有限元生成的.量子超群是随着量子可逆散射理论推广到超系统[58]而自然出现的,李超双代数同样在其发展中占有重要地位.本文的第二章考虑超Virasoro代数（即N=1超Virasoro代数）及广义超Virasoro代数上的李超双代数结构.证明了超Virasoro代数上的李超双代数结构都是三角的.而对广义超Virasoro代数SVir[Γ, s]而言,因为其在SVir[Γ, s]（?）SVir[Γ, s]上的一阶上同调未必是平凡的,所以它的李超双代数结构并不一定是三角的,我们给出了其成为三角的一个充分必要条件.N=2超Virasoro代数是近些年由数学家和物理学家共同提出的一类代数.在本文的第三章,我们考虑N=2超Virasoro代数上的李超双代数结构,主要是Ramond N= 2超Virasoro代数（?）,得到了其一阶上同调群是平凡的,从而证明了（?）上的李超双代数都是三角的.第四章我们对Topological N= 2超Virasoro代数的中间序列模进行了讨论.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第零章 绪论
• §0.1 课题背景及发展现状
• §0.1.1 Virasoro代数及N=1,2超Virasoro代数发展简介
• §0.1.2 李双代数及量子化
• §0.1.3 李超双代数
• §0.1.4 不可约表示
• §0.2 本文的主要工作
• 第一章 Virasoro代数的量子化
• §1.1 Drinfel'd twist的构造及主要结果
• §1.2 Virasoro代数的量子化过程
• 第二章 广义超Virasoro代数的超双代数结构
• §2.1 预备知识
• §2.2 （广义）超Virasoro代数及主要结果
• §2.3 主要结果的证明
• 第三章 Ramond N=2超Virasoro代数的超双代数结构
• §3.1 Ramond N=2超Virasoro代数及主要结果
• §3.2 主要结果的证明
• 第四章 Topological N=2超Virasoro代数的表示
• §4.1 Topological N=2超Virasoro代数
• §4.2 Topological N=2超Virasoro代数的中间序列模
• 参考文献
• 附录一 致谢
• 附录二 作者读博士期间发表和录用论文情况