小波及小波集的构造

论文摘要

小波分析是近年来出现的一个新的数学分支，自它诞生之日起，一直是数学工作者和其他领域的专家学者研究和关注的热点。小波基的构造问题是小波研究的一项重要内容。本文构造了Fourier变换支撑在区间In上的一类小波，并且这类小波构成的小波子空间V0在平移算子gn={Tm╱2n：m∈Z}，n∈N下是不变的；研究了实数集上小波集的构造问题；基于框架小波与小波相比所具有的更大的灵活性，还构造了框架小波，研究了框架小波集与小波集之间的关系。本文共分为四部分：第一部分介绍了小波发展的历史及现状，小波基在理论研究及实际应用中的重要作用，小波基的构造这一课题的发展历程，最后介绍了本文的结构及主要结果。第二部分基于广义多分辨分析构造了一类Fourier变换具有紧支撑的小波。给定一个小波，它的小于某一尺度的所有平移系构成了L2（R）的一个子空间，叫小波子空间，这些子空间就构成了一个广义多分辨分析。本章中构造了一个区间In，给出了一个Fourier变换支撑在区间In上的函数是小波的充分必要条件，并且这样的小波所构成的小波子空间V0在平移算子gn={Tm╱2n：m∈Z}，n∈N下是不变的。第三部分是关于小波集的构造。由定理3.1知道，判断一个集合W是不是小波集是看它的伸缩系{2nW：n∈Z}和平移系{W+2kπ：k∈Z}是不是实数集的一个分割。本文中建立了集合W和已知小波集E之间的映射，通过判断映射是否是双射来判断W是否是小波集。对定理3.1中的平移集Γ={2kπ：k∈Z}和伸缩集D={2n：n∈Z}，本文作了推广，得出结论：如果Ω是R的一个区域，（Ω，Γ）是一个谱对，同时Ω是R的一个乘积D-覆盖，那么ψ=（?）Ω是一个（D，Γ）小波；反之，如果0∈Γ，ψ=（?）Ω是一个（D，Γ）小波，那么（Ω，Γ）是一个谱对，同时Ω是R的一个乘积D-覆盖。本章中还利用两个小波集W1，W2，通过定义两个映射h1，h2，利用（?）=h1（?）w1+h2（?）w2构造了一个小波ψ。第四部分是关于框架小波集。首先介绍了有关的基本概念，包括希尔伯特空间中的框架，紧框架，标准紧框架，框架小波，紧框架小波，框架小波集，紧框架小波集，标准紧框架小波集等概念。接着，利用框架小波的一个必要条件，结合小波集E的特点，构造了一个Fourier变换支撑在E上的一个框架小波。当把支撑适当扩大，利用这个小波集还能构造出一系列的框架小波。基于标准紧框架小波集与小波集之间的密切关系，本章最后还给出了一个标准紧框架小波集是小波集的充分必要条件。

论文目录

• 摘要
• ABSTARCT
• 1 绪论
• 1.1 小波的发展历史及现状
• 1.2 问题的背景
• 1.3 本文的结构及主要结果
• 2 基于GMRA的小波构造
• 2.1 基本概念
• 0中的小波的例子'>2.2 M₀中的小波的例子
• n的小波的等价类'>2.3 属于M_n的小波的等价类
• 3 小波集的构造
• 3.1 实数集上的小波集
• 3.2 用两个小波集构造小波的方法
• 3.3 小波集条件的推广
• 4 框架小波集
• 4.1 基本概念
• 4.2 框架小波集与小波集
• 参考文献
• 致谢
• 详细摘要