基于B样条小波基的无网格法研究

论文摘要

目前,有限元法已成为解决复杂工程分析计算问题的有效途径,但在实际应用过程中处理一些大变形和任意角度和复杂路径的裂纹时,有限元法的网格划分将变得极为复杂,有时还要重新划分网格,由于网格的存在会导致计算结果的失效,因此人们需要一种新的计算方法来解决这些问题。无网格方法以其独有的特点成为计算力学界中的热点之一。无网格法去除了网格,利用分散在求解域中的结点来构造近似函数进行求解,不需要网格的初始划分及重构,在解决一些大变形或裂纹动态扩展等问题方面具有良好的前景。小波变换是一种时频分析法,基本思想就是通过函数的伸缩和平移对信号进行多尺度细化分析,将原始信号分解成具有不同时频特性和方向特性的局部信号,其时间或空间窗口大小可随频率高低进行变换,由于小波变换在时频两域都具有表征信号局部特征的能力和多分辨率分析的特性,被誉为“数学显微镜”,在物理勘探、图像处理、故障诊断、信号分析等领域取得了很好的应用效果,是信号分析发展史上里程碑式的进展。在多尺度分析理论框架下,利用B样条函数的性质构造的B样条小波函数,更适用于图像中的曲线或者曲面的多尺度分析与处理。如何将两者有机的结合在一起,充分发挥两者在力学应用方面良好的优势一直是力学界研究的新领域。本文尝试将B样条小波函数应用于伽辽金无网格法中,利用B样条小波显示表达式、正交性、逼近阶等其他小波所不具备的良好性质,调整平移和伸缩变量形成相应函数应用于无网格形函数中权函数和基函数的构成,通过在一维杆、二维板结构中用于受力分析计算,结合不同权函数支撑半径、不同数值积分方案等条件下反复做了大量的数值模拟算例,与常用的Gauss权函数、样条权函数进行比较分析,验证了B样条小波做为权函数,具有明显的优势,做为基函数,取得较好的效果。同时通过在二维板结构中规则结点分布和不规则结点分布不同情况下的数值分析,引入B样条小波权函数进行裂纹尖端因子的计算,分别在不同尺度、不同权函数、不同伸缩平移变量等条件设置情况下反复做了大量的数值模拟分析算例,针对不同结果进行了分析比较。可以得出,将B样条小波引入到无网格中,利用B样条小波的良好性质和无网格的利于解决裂纹和突变等情况下的力学问题,具有一定的优势,尤其是受权支撑半径影响较小。在提高计算精度的同时提高了运算效率,在一定程度上可以缓解无网格运算量大的缺陷,为无网格求解力学问题提供了一个新思路,为无网格法的发展开拓了一些新的发展空间。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 研究背景和意义
• 1.2 无网格法发展历史及研究现状
• 1.3 小波发展历史及研究现状
• 1.4 小波有限元的发展历程
• 1.5 研究内容
• 第2章 B样条小波函数基础
• 2.1 小波变换
• 2.2 多分辨率分析
• 2.3 常用小波函数
• 2.4 B样条小波
• 2.4.1 B样条函数
• 2.4.2 B样条小波函数
• 2.5 B样条小波变换
• 2.6 本章小结
• 第3章 基于最小二乘的伽辽金无网格法
• 3.1 弹性力学数值实施
• 3.2 紧支试函数加权残量法
• 3.3 无网格基本近似方案
• 3.3.1 光滑粒子动力学近似（SPH）
• 3.3.2 移动最小二乘近似（MLS）
• 3.3.3 再生核近似（PK）
• 3.3.4 径向基函数近似（RBF）
• 3.4 移动最小二乘法近似
• 3.4.1 基本原理和特点
• 3.4.2 结点影响域的选择原则
• 3.5 边界处理
• 3.5.1 拉格朗日乘子法
• 3.5.2 修正变分原则
• 3.6 常用积分方案
• 3.6.1 背景网格积分
• 3.6.2 节点积分
• 3.6.3 有限元网格积分
• 3.7 本章小结
• 第4章 B样条小波有限元基础
• 4.1 小波有限元概念
• 4.2 小波伽辽金法有限元模型的构造
• 4.3 B样条小波单元的构造
• 4.3.1 一维区间构造
• 4.3.2 二维区间构造
• 4.4 本章小结
• 第5章 B样条小波无网格权函数
• 5.1 无网格伽辽金权函数
• 5.1.1 基本原理
• 5.1.2 权函数支撑半径的选择原则
• 5.2 B样条小波权函数
• 5.3 一维结构算例
• 5.3.1 同一材料组成
• 5.3.2 两种材料组成
• 5.4 二维板结构算例
• 5.4.1 不规则结点分布
• 5.4.2 规则结点分布
• 5.5 裂纹尖端应力强度因子计算
• 5.6 本章小结
• 第6章 B样条小波无网格基函数
• 6.1 伽辽金无网格基函数
• 6.2 B样条小波基函数的构造
• 6.2.1 一维基函数构造
• 6.2.2 二维基函数构造
• 6.3 一维结构算例
• 6.3.1 同一材料组成
• 6.3.2 两种材料组成
• 6.4 二维板结构算例
• 6.5 本章小结
• 第7章 结论与展望
• 参考文献
• 作者简介及在学期间取得的科研成果
• 后记和致谢