矩阵特征值扰动分析的拓展及一类新的相对效率

论文摘要

矩阵扰动分析主要是研究矩阵元素的变化对于矩阵问题的解的影响,它不仅仅与矩阵论和算子理论密切相关,而且对于矩阵计算同样是有重要的意义。矩阵扰动中的矩阵特征值问题不仅可直接解决数学中诸如非线性规划、优化、常微分方程,以及各类数学计算问题,而且在结构力学、工程设计、计算物理和量子力学中具有重要作用,目前矩阵特征值问题的应用大多来自于解数学物理方程、差分方程、Markov 过程等。正因为它具有重要意义和广泛的应用,所以矩阵特征值扰动问题是具有深度理论意义和广泛应用背景的研究任务之一。矩阵特征值扰动理论在上个世纪后半叶得到充分的发展,国外的发展体系比较完善,建立了矩阵特征值扰动理论的基本框架,国内在上世纪80 年代中期以后,一批致力于基础理论研究的数学工作者在这一领域取得了长足的发展,使矩阵特征值扰动理论的分析方法、研究范围都有突破性的进展,为其在其他学科上的应用起到了导向和借鉴作用。本篇文章以研究矩阵特征值扰动为主要的问题切入点,同时联系矩阵特征值定位问题和矩阵酉极因子扰动,并且由对矩阵条件数的分析给出一类新的相对效率的定义。本文第二章在Ostrowski 圆盘定理的基础上给出新的圆盘定位定理。第三章,在已有矩阵特征值扰动定理的基础上,突破对矩阵为特殊矩阵的束缚,给出两组新的适用于任意矩阵的扰动上界。在第四章,由于复数域上的任意矩阵都可以进行酉极因子分解,所以矩阵的酉极因子的扰动在实际应用中同样占有重要位置。目前具有代表性的结果不是很多,本章中给出新的酉极因子扰动欧氏范数上界。最后一章将目前的范数类下的广义康氏不等式拓展到条件数类,并且将其应用到线性模型的相对效率的研究之中,得出一系列新的上界。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 1 预备知识
• 1.1 矩阵理论的基本知识
• 1.1.1 特征值与特征向量
• 1.1.2 矩阵分解
• 1.1.3 矩阵范数
• 1.2 条件数
• 2 矩阵特征值的定位
• 2.1 矩阵的排除定理
• 2.2 Ostrowski 圆盘定理的新结果
• 3 矩阵特征值的扰动
• 3.1 特征值扰动的分类
• 3.2 任意矩阵的扰动上界
• 4 酉极因子的扰动
• 4.1 极分解
• 4.2 酉极因子新的欧氏扰动界
• 5 酉条件数类广义Kantorovich 不等式
• 5.1 Kantorovich 不等式的发展
• 5.2 一些条件数类广义Kantorovich 不等式
• 5.2 条件数类广义Kantorovich 不等式在相对效率中的应用
• 致谢
• 参考文献
• 附录:作者在攻读硕士学位期间发表的论文目录
• 独创性声明
• 学位论文版权使用授权书