论文摘要
本文对曲面造型中三角形域上的超限插值曲面问题进行了研究。构造三角形域上的超限插值曲面技术在CAD、计算机图形学、气象和勘探等各类科学研究和工程设计中有广泛的应用。通过曲线边界插值构造三角曲面片的方法是由Barnhill，Birkhoff和Gordon首先提出来的，该方法采用布尔和算子构造三角曲面片。Gregory使用凸组合的方法构造三角曲面片，其思想在文献中得到了进一步的发展。所构造的三角曲面片由三个插值算子的凸组合构成，每个插值算子均满足三角形两条边上的插值条件。Nielson提出的边点法也使用三个插值算子的组合构造三角曲面片，每个算子都满足一个点及其对边上的插值条件。Hagen进一步发展了边点法，并用来构造几何三角曲面片。文献提出了用于散乱数据点插值的方法，该方法也用于构造三角曲面片。最近文献提出了一个由四个插值算子的组合构造插值三角曲面片的新方法，包括一个内部插值算子和三个边点算子。文献提出了由基本逼近算子加上附加算子构造三角曲面片的方法。Nielson提出的九参数构造曲面片是利用给定顶点的法向和函数值求出顶点的单位切矢量，然后利用边点法求出边界曲线及边界单位法向，最后利用边点法构造三角曲面片。对于三角形区域上进行多项式插值的很多解决方法都各有其缺点，如Nielson提出的九参数构造曲面片是利用给定顶点的法向和函数值求出顶点的单位切矢量，然后利用边点法求出边界曲线及边界单位法向，最后利用边点法构造三角曲面片，对参数要求过多，并且会因为α和β无法确定而造成的误差较大的问题等。针对上述问题，本文提出了一种使用六个参数构造三角曲面片的新方法。该方法利用具有公共边的两个三角形区域的四个顶点的函数值及外法向量来构造一个二次曲面片，通过该二次曲面片求出共用边界曲线及跨界切矢量；同样可以求出另外两条边的边界条件，然后利用求出的边界条件进行边点插值求出该三角曲面片。对于只属于一个三角曲面片的边界，即边界三角片进行了特殊处理。和现有方法相比，新方法的优点是：利用六参数构造三角曲面片，相对以前的九参数(顶点值和两个参数方向的切矢量)，对条件的要求更少，并避免了Nielson方法中由于α和β无法确定而造成的误差较大的问题；该方法简单易用，在一定程度上避免了以前方法中，计算复杂性高、特殊情况误差大等问题。最后，实验给出了新方法的结果，并和Nielson方法的结果进行了比较。