论文摘要
奇点理论源于上世纪30年代H.M.Morse的临界点理论,Whitney于1955年的关于把平面到平面的映射的奇点的工作使得其成为一个独立的分支,同时R.Thom、J.N.Mather、V I.Arnold和M.Golubitsky等人在此方面都作了很重要的贡献,国内的研究者在李培信研究员的带领下主要有李养成、张敦穆、张国滨、孙伟志、余建明、姜广峰、邹建成、裴东河等以及他们的学生,其成果进一步充实了奇点理论的内涵。本文研究奇点理论中的几个问题,其中主要讨论相对函数芽及其形变的有限决定性与多参数等变分歧问题开折的通用性及稳定性。关于相对函数芽与映射芽的研究从1978年P.F.S.Porto的函数芽的相对决定性开始,后来有了很多的讨论,如R.Bulaiich、J.A.Gomez和L.Kushner于1987年在《Bolleaino U M I》上发表的相对映射芽的相对通用性,给出了相对通用性的代数特征和相对Malgrange预备定理,1992年L.Kushner的关于一般代数集芽上相对有限决定性的讨论以及他与B.T.Leme于2000年的有限相对决定性与相对稳定性,2003年唐铁桥、李养成的光滑函数芽的Rr（S;n）-决定性,V.Grandjean于2004年的发表在伦敦数学学会期刊的关于满足相对Lojasiewicz条件有横截孤立奇点的光滑函数芽的无限相对决定性的文章,2004年孙伟志、陈亮、裴东河的相对映射芽的强AS,T有限决定性与通用开折,2004年申海燕、李养成的相对映射芽的相对A决定性,2006年李养成、梁琼初的接触等价下的相对映射芽的通用形变,2007年孙伟志、高峰、裴东河的K等价下相对映射芽的通用形变,2006年张中峰的硕士论文中也有关于R（S;n）与Rr（S;n）群下的有限决定性的进一步的讨论。关于等变分歧问题方面,国内外的相关工作特别多,主要讨论分歧问题的开折、分歧问题及其开折的稳定性和分歧问题的识别与分类。当状态空间与靶空间相同时,M.Golubitsky,I.Stewart和D.GSchaeffer引入奇点理论来研究等变分歧问题并给出了通用开折定理。其后,许多学者对此继续研究。利用奇点理论的技巧,A.L.Lavassani和Y C.Lu研究了等变分歧问题及其开折的稳定性。特别在国内,李养成教授带领他的研究生建立了各种形式的通用开折定理,张敦穆教授与其博士刘恒兴讨论了г-等变（r,s）-等价关系和г-等变分歧问题开折的（r,s）-无穷小稳定等等。本文基于奇点理论,研究了:（1）关于两等价群作用下更一般情形的等变分歧问题的通用开折;（2）含两组状态变量且分歧参数也带有对称性的等变分歧问题的无穷小稳定开折;（3）相对函数芽的有限决定性与决定性范围;（4）相对函数芽形变的有限决定性与决定性范围;（5）对A.L.Lavassani与Y C.Lu用DA代数系统讨论的接触等价下光滑映射芽的有限决定性,本文用避开DA代数系统的方式给出了分析。这里的前四部分内容分别发表在《数学物理学报》（英文版,SCI源期刊）、《湘潭大学自然科学学报》、《应用数学》和《湖南大学自然科学学报》上,最后一个内容也与崔登兰博士以及我的导师进行了充分的讨论。本文内容大致如下:第一章在关于两等价群作用下更一般情形的等变分歧问题的通用开折。本章是在前人对开折理论研究的基础上的更一般情形下的讨论,其状态变量分成了两组,分歧参数的对称性也考虑了进来,主要讨论等变左右等价群作用下的通用开折定理以及等变左右等价群下的通用开折与等变接触等价下的通用形变之间的关系。第二章含两组状态变量且参数带有对称性的等变分歧问题在等变左右等价下的无穷小稳定开折。分歧问题开折的通用性与稳定性是分歧理论研究中的一个重要内容。本章和第一章一样,也是在更一般情形下的讨论,对这类等变分歧问题的开折讨论在等变左右等价下的无穷小稳定性,所得的主要结果将类似文献的结果作为了其特殊情形。第三章讨论相对函数芽,本章将A.du Plessis的决定性范围与P.F.S.Porto的相对函数芽的有限决定性结合在一起讨论得到了几个新的结果,如推论3.1.8给出了k-右决定的充要条件,由此可以判断右等价下的决定性阶数。第四章讨论相对函数芽形变。本章是在第三章基础上的进一步分析,对于一类函数芽形变给出了其决定性范围,并分析了其相对稳定性的充分条件。第五章研究在接触等价群作用下的分歧问题,通过对A.L.Lavassani与Y.C.Lu的一篇文章仔细分析,考虑到DA代数系统需要的代数基础比较多,本章力求避开DA代数系统,来分析文献[47]中与有限决定性有关的引理6.2.2的证明。首先证明出几个引理,然后通过细致分析,运用这些引理给出了引理6.2.2的另一证明。考虑到其证明过程有其独特之处,因而作为一章写在最后。