孤立子可积系统的研究与精确解

论文摘要

本文共有四章,研究的内容主要有两方面:一方面是连续、离散可积系统的生成及其可积拓展,另一方面是利用齐次平衡法求孤子方程的解。在第一章中,概述了孤立子理论的产生和发展、研究概况及其研究意义。在第二章中,首先,利用半直和Lie代数法构造loop代数设计出新的等谱问题,进而得到一维KdV方程族的可积耦合,并且通过二次型恒等式得到其Hamilton结构;其次,构造了一个新的loop代数,并由此设计了一个新的等谱问题,运用（2+1）-维零曲率方程得到了一个（2+1）-维Li族,并且扩展其loop代数构造等谱问题进而运用（2+1）-维零曲率方程得到（2+1）-维Li族的可积耦合,并且用二次型恒等式求出它的Hamilton结构。最后,基于一个多分量loop代数,运用（2+1）-维的零曲率方程得到了（2+1）-维多分量Li族。在第三章中,首先利用半直和的方法构造了新的Lie代数进而借助其构造等谱问题,然后运用离散的零曲率方程求出了新的离散扩展可积模型。在第四章中,用齐次平衡法求出（2+1）-维Burgers方程族的精确解,并且利用Matlab做出了它们的解的图像。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 孤立子理论的产生及其发展
• 1.2 孤立子理论研究概述
• 1.3 孤立子理论研究的意义
• 1.4 本文研究的主要内容
• 2 连续可积方程族及其可积拓展
• 2.1 一般理论和方法
• 2.2 一维连续可积系统
• 2.3 （2+1）-维Li族的可积耦合及其Hamilton结构
• 2.4 （2+1）-维多分量Li族
• 3 离散可积方程族的生成
• 3.1 一般理论和方法
• 3.2 半直和李代数的构造
• 3.3 两个离散的扩展可积模型
• 4 利用齐次平衡法求解非线性发展方程
• 4.1 齐次平衡原则
• 4.2 （2+1）-维Burgers方程的精确解
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士阶段所发表的论文
• 详细摘要