求解非线性方程组的若干迭代算法之研究

论文摘要

本文主要研究Banach空间内求解非线性方程组f（x）=0的理论分析问题，特别是对Newton法，不精确Newton法（inexact Newton method），Newton-like方法的局部收敛性和半局部收敛性进行了详细的讨论，并给出新的结果。Newton法是用来求解非线性方程组常用的办法。因为在初始近似足够好的情形下，Newton序列能快速地收敛到方程的根，而且计算时每步计算只与前一步有关，误差不传播，是自校正的，在理论和实际应用上都是一种重要的方法，为很多数值工作者所青睐。而自Newton法提出以来，关于Newton法的理论分析一直都没停止过，涌现出大量的成果，主要包括Newton法的局部收敛性定理，特别是收敛球与唯一性球半径的研究；Newton法的半局部收敛定理，特别是Mysovskii型定理和Kantorovich型定理的发展；以及Newton法的全局收敛性定理等。其中，Kantorovich定理以其典型的条件，确切的结果成为研究Newton法半局部收敛性的典范。在对其条件结论的种种改进发展中，Wang（[13]）中给出的Newton法的半局部收敛性定理有很强的概括性，它将Kantorovich型条件和Smale型条件统一起来。这里我们给出这个结果新的应用，可以推出Argyros（[14]）中给出的含f的m阶导数信息的半局部收敛性定理（即定理2．1．3），并对其结果进行改进。定理0．1若f满足Argyros（[14]）定理的条件：（4）p2（s）≤0，这里p2（r）定义如下：这里s是p’2（r）的一个根。那么f满足Wang（[13]）定理的条件：（Ⅱ）对任意的x∈S（x0，δ）和x’∈S（x,δ-ρ（x））有（Ⅲ）令δ0满足∫0δ0L（u）du=1且b=∫0δ0L（u）udu。假设（Ⅲ）t*≤δ，这里t*是h（t）较小的正根，由于Newton法每步都需要解一个线性方程组f’（xk）△k=-f（xk）（通常称为Newton方程组），在未知量比较多的情况下，若用消去法等直接方法求其精确解，计算代价是十分高的。正是出于此原因，Dembo-Eisenstat-Steihaug（[59]）提出求Newton方程组的近似解（例如用迭代法求解该方程组），即称之为不精确Newton法（inexact Newton method）。我们在介绍了该方法已有的局部收敛性以及半局部收敛性结果后，给出f’在满足弱条件下不精确Newton法的Kantorovich型收敛性定理，并在余项rk≡0的情况下得到关于Newton法的著名的半局部收敛性定理。定理0．2假设f：D（?）X→Y在S（x0，δ）（?）D上Fréchet可微，x0∈D为给定的初始近似且f’（x0）-1存在。令L（u）是[0，δ]上正的非降函数，ρ（x）=‖x-x0‖，ρ（xx’）=ρ（x）+‖x’-x‖≤δ。假定f’（x0）-1f’满足关于L平均的内切球中心Lipschitz条件，即对0<η0<1／2以及ηk<2η0，余项rk满足假定s0≤b且这里σk：=αk/（1-ηkαk），vk：=σk+1／σk。以及这里δ0满足∫0δ0L（u）du=1-2η0，b=∫0δ0uL（u）du／（1-η0），t0*是φ0（t）的最小正根，那么，不精确Newton序列{xk}（k≥0）保留在S（x0,t0*）内且收敛于f（x）=0的一个根x*。在求解Newton方程组时，有时f’（xk）的计算较为困难，为了降低计算代价，我们通常用可逆算子A（xk）来逼近它，这就是Newton-like方法我们对Newton-like方法的局部收敛行为和半局部收敛性行为进行讨论，给出弱条件下Newton-like的半局部收敛性定理，并给出相应的推论。定理0．3令f：D（?）X→Y在S（x0，r）（?）D上Fréchet可微，A（x）是f’（x）的一个近似。假定存在初始近似x0∈S（x0，r0）（其中r0∈[0，r]）使得A（x0）非奇异，对任意x∈S（x0，r）及任意x’∈S（x,r-ρ（x））满足假设下列条件成立：（Ⅰ）存在非负常数s0，α，β以及0≤u0<1，使得下面关系式成立：以及（Ⅱ）对某个a≥max{1，α+β}，下面式子均成立：（Ⅲ）S（x0,t*）（?）S（x0r0），这里t*是φ（t）的最小正根，φ（t）定义如下：那么，Newton-like序列{xk}（k≥0）保留在S（x0,t*）内，并收敛于f（x）=0的一个解x*。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景及其现状
• 1.2 论文的组织
• 第二章 Newton法收敛性的一些结果
• 2.1 Newton迭代的理论分析
• 2.1.1 迭代分析的基本问题
• 2.1.2 Newton法的局部收敛性
• 2.1.3 Kantorovich定理及其发展
• 2.1.4 关于弱条件的相关说明（[41],[42]）
• 2.2 主要结果
• 2.2.1 Lipschitz条件的推广
• 2.2.2 主要结论及其证明
• 2.2.3 进一步讨论
• 2.3 关于Newton迭代的其它半局部收敛定理
• 2.4 Newton法局部行为的进一步讨论
• 第三章 不精确Newton法的收敛性讨论
• 3.1 不精确Newton法的局部收敛性
• 3.1.1 相关定义
• 3.1.2 局部收敛性
• 3.1.3 余项和收敛阶
• 3.2 控制序列的选择
• 3.2.1 控制序列的作用
• 3.2.2 常用的选取方法
• 3.3 不精确Newton法的半局部收敛性的一些结论
• 3.3.1 Mysovskii型收敛性定理
• 3.3.2 Kantorovich型收敛性定理的一些结果
• 3.4 弱条件下不精确Newton法的半局部收敛性定理
• 3.4.1 预备知识
• 3.4.2 主要结果概述
• 3.4.3 定理证明
• 3.4.4 两个推论
• 3.5 不精确Newton法和拟Newton法
• 3.5.1 拟Newton法的提出
• 3.5.2 拟Newton法相关收敛性定理
• 3.5.3 不精确Newton法和拟Newton法等价
• 第四章 Newton-like方法的收敛性讨论
• 4.1 Newton-like法的提出及局部收敛性结果
• 4.2 Newton-like法的半局部收敛行为
• 4.2.1 Newton-like法的Mysovskii型收敛性定理
• 4.2.2 Newton-like法的Kantorovich型收敛性定理
• 4.3 弱条件下Newton-like法的半局部收敛性定理
• 4.3.1 主要结果概述
• 4.3.2 定理证明
• 4.3.3 主要推论
• 4.4 关于收敛性的进一步讨论
• 参考文献
• 附录:优函数和优序列
• 简历
• 发表文章目录