论文摘要
区组设计的研究一直都是组合设计理论的核心内容，对区组设计的研究主要集中在如：平衡不完全区组设计、可分解平衡不完全区组设计、对称平衡不完全区组设计、可分组设计、横截设计、差族……等一系列区组设计上。设v，λ为正整数且K为某些正整数的集合。一个区组设计（X，A）若满足以下条件：（1）|X|=v；（2）{|A||A∈A}（?）K，A中元素称为区组；（3）每一对集{x，y}（?）X恰包含于λ个区组Ai中，则称（X，A）为成对平衡设计，记作（v，K，λ）-PBD。如果区组设计（v，K，λ）-PBD的所有区组大小为k，则称它是一个平衡不完全区组设计（v，k，λ）-BIBD。（v，k，λ）-BIBD存在的必要条件是λ（v-1）≡0（mod k-1）且λv（v-1）≡0（mod k（k-1））。有很多区组设计都与（v，k，λ）-BIBD有关系。差族可用来构造多种区组设计，下面给出差族的定义。设G是一个v阶Abel群，其运算为加法。设s为正整数，K是由某些正整数组成的集合，又设S为由G的s个子集Bi={bi1，bi2，…，biki}，1≤i≤s组成的子集族。如果（1）G中的任意一非零元a都恰有λ次表示成如下形式的差：a=bij-bil，1≤i≤s，1≤j，l≤ki，j≠l；（2）当1≤i≤s时都有ki∈K，则称S为G的一个（v，K，λ）-差族，记为（v，K，λ）-DF。当G=Zv为v阶循环群时，S叫做（v，K，λ）-循环差族，记为（v，K，λ）-CDF。当K={k}时，S叫做（v，k，λ）-差族，记为（v，k，λ）-DF。（v，k，λ）-DF存在的必要条件为λ（v-1）≡0（mod k（k-1））。如果所有的Bi是不相交的，则称该差族为不相交差族，记为（v，k，λ）-DDF。（v，k，λ）-DDF存在的必要条件为λ（v-1）≡0（mod k（k-1））且λ≤k-1。关于（v，k，1）-DF的存在性，当k=3，4，5，6，7时已有结果。（v，k，λ）-DDF是比较特殊的差族，其存在性问题研究比较困难，目前已知结果也比较少。关于（v，k，λ）-DDF的存在性，当k=3，λ=1时已彻底解决。当k=3，λ=2，v≡1（mod 3）为质数幂时已解决。当k=4时，已有部分结果。乘法特征和的Weil定理，在组合设计中有着许多应用，如用它来构造差族、V（m，t）向量、APAV、最优光正交码、广义斯坦纳系等。本文对一般的k，用乘法特征和的Weil定理，对v=k（k-1）t+1为质数幂，给出了（v，k，1）-DDF存在的一个下界。利用上述结果，对k=4，λ=1，v≡1（mod 12）为质数幂，结合计算机搜索，证明了（v，4，1）-DDFs的存在性。对k=4，λ=2，v≡1（mod 6）为质数幂，结合计算机搜索，证明了（v，4，2）-DDFs的存在性。本文主要结果如下：定理1．2．1设v≡1（mod k（k-1））为质数幂，v≥E2时存在（v，k，1）-DDF，其中A=定理1．2．2设v≡1（mod 12）为质数幂，v≥13时存在（v，4，1）-DDF。定理1．2．3设v≡1（mod 6）为质数幂，v≥7时存在（v，4，2）-DDF。在本文的最后，提出了几个进一步研究的问题。
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标签：平衡不完全区组设计论文; 差族论文; 不相交差族论文; 完全不相交差族论文; 特征和论文;