几类分数微积分非线性振子的动力学研究

论文摘要

分数导数可看作是Abel核函数的Volterra积分，它的值不仅与当前时刻的值紧密联系，还与整个历史有关。因此，将分数微积分应用于某些粘弹性材料，能很好地描述材料的时间效应，如对许多高分子聚合物材料。与经典粘弹性本构模型相比，分数微分型粘弹性本构模型不但能描述粘弹性材料的本构关系及其力学特性，而且确定模型所需的实验参数少，能够在较宽的频率范围内精确地描述材料的力学行为。本文主要研究分数微分型阻尼对几类非线性振子系统的影响：(1)推导出能求解含非线性分数导数的数值算法，并给出了误差估计。此项工作，为将某些材料的非线性分数微分型耗散特性引入到经典非线性振子系统，进而对其非线性动力学特性研究奠定了基础。本文对含非线性分数算子的微分方程的数值模拟表明：我们的算法结合Newmark型数值积分，可获得分数导数非线性微分方程较高精度的数值解，且算法稳定性好、收敛较快。(2)建立了几种含分数微分型阻尼的非线性分数阶振子方程。研究的背景是：对一大类高分子聚合物材料，实验及理论研究皆已表明，分数导数描述的材料阻尼，能更精确地刻画系统的耗散特性。因此，从机理上研究这些系统的动力学性能是非常必要的。本文研究了含二次非线性项的分数微分型振子、分数微分型Duffing振子、分数微分型Van der pol振子三类振子系统，并分别研究了自由振动和受迫振动的情况。(3)对含二次函数的分数微分型非线性振子的研究表明：阻尼力在线性函数分数微分起主导作用的情况下，分数导数的阶值越大，振子衰减越快；非线性项系数越大，振子衰减也越快。另外，系统弹性越强，振子的震荡周期就越小。受迫振动中分数导数的阶值、非线性项系数、激励大小都与振子非线性强弱成正比。(4)对分数微分型Duffing振子的研究表明：分数微分型阻尼的分数较小时，振子将出现倍周期分岔并导致混沌。在不同的外激励频率下，分数微分型Duffing振子会呈现单个吸引子、双吸引子、直至出现奇怪吸引子。在一定参数范围内，分数微分型Duffing振子较经典Duffing振子，在较小的激励下即可进入混沌。(5)对分数微分型Van der pol振子方程的研究表明：分数微分型阻尼较经典整数阶阻尼达到稳定自激振动的时间将更长。分数导数越大，分数微分型Vander pol振子的非线性特性越接近于经典Van der pol振子。分数微分型Van der pol振子的受迫振动分析表明：在一些参数下，分数导数阶值较小时，可导致振子作混沌运动。研究表明：含分数算子的非线性振子具有区别于经典振子的不同动力学特性。本文研究的这几类分数微积分非线性振子至少在国内还未见诸文献。所有本文的工作都为进一步研究分数阶非线性系统的动力学行为作了开拓性的探索，为后续研究奠定了坚实的基础。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 研究背景及意义
• 1.2 相关研究的历史沿革
• 1.2.1 非线性振动发展简史及其研究方法
• 1.2.2 经典粘弹性本构理论
• 1.2.3 分数微分型粘弹性本构关系及其发展历史概述
• 1.2.4 分数导数的数值算法
• 1.3 分数微积分学的研究现状及展望
• 1.4 本文的结构
• 第二章 非线性分数算子的一种数值方法
• 2.1 引言
• 2.2 二次非线性分数导数的数值方法
• 2.3 三次非线性分数导数的数值方法
• 2.4 误差分析
• 2.5 小结
• 第三章 一型分数阶非线性振子的数值研究
• 3.1 引言
• 3.2 非线性分数阶微分方程的数值积分算法
• 3.3 数值积分算法计算流程框图
• 3.4 非线性动力学行为研究
• 3.5 小结
• 第四章 分数微分型 Duffing振子的数值研究
• 4.1 前言
• 4.2 含分数算子的 Duffing振子数值方法
• 4.3 分数微分型 Duffing振子的数值计算流程
• 4.4 分数微分型 Duffing振子非线性特性研究
• 4.5 分数微分型 Duffing振子与整数阶振子的对比研究
• 4.6 小结
• 第五章 分数微分型 Van der pol振子算法及非线性特性研究
• 5.1 引言
• 5.2 分数微分型 Van der Pol振子的数值积分方法
• 5.3 分数微分型 Van der Pol振子的数值计算流程
• 5.4 分数微分型 Van der pol振子的非线性特性分析
• 5.5 小结
• 第六章 分数微积分非线性振子动力学研究的总结
• 6.1 全文总结
• 6.2 有待深入研究的问题及建议
• 参考文献
• 致谢