外差族和不相交差族的分圆构造

论文摘要

差族方法是构作平衡不完全区组设计的最常用也是最有用的方法之一，人们对它已有很多研究，同时将其应用于编码理论及密码学中。2004年，Ogata，Kurosawa，Stinson和Saido[1]引进了一种新的组合设计——外差族（External Difference Families简记为EDF），并将其应用到认证码及密钥分享中。2006年，常彦勋和丁存生在[2]中通过递归思想和分圆构造方法给出了一些不相交差族（Disjoint Difference Families简记为DDF）和外差族的结果，同时提出以下几个公开问题：问题1构造别的（v，（v-1）／2，（v-1）／2；2）-EDF。问题2在Abel群G中，构造更多的（v，k，k-1）-DDF。问题4在Abel群G中，构造更多的（v，k，λ；u）-EDF，要求ku＜v-1。本文利用分圆数方法，给出外差族与不相交差族的一些结果，同时定理[2．10，3．5]定理[2．11，3．5，3．7]和定理[2．12，3．2，3．3，3．6]分别给出了[2]所提出的问题1，2和4的一个构造。设GF（q）为有限域，q=ef+1为奇质数幂，GF（q）*=GF（q）＼{0}，α为GF（q）*上的生成元，令C0（e）={αes|s=0，1，…，f-1}是GF（q）*上的f阶乘法子群，记Ci（e）=αiC0（e）={αes+i|s=0，1，…f-1}，0≤i≤e-1，显然，诸Ci（e）是C0（e）的陪集。称方程zi+1=zj，zi∈Ci（e），zj∈Cj（e），0≤i，j≤e-1，的解（zi，zj）的个数为e阶分圆数，记作（i，j）e。本文的主要结果如下：定理2．3设q=ef+1为质数幂，Dj=Cj1（e）∪Cj2（e）∪…∪Cjl（e），1≤j≤h，则D={D1，D2…，Dh}是GF（q）上的差族当且仅当J0=J1=…=Je-1，其中Js=sum from j=1 to h sum from t=1 to l sum from k=1 to l （jt-s，jk-s）e，0≤s≤e-1。定理2．4设q=ef+1为质数幂，则Ci1（e），Ci2（e），…，Cil（e）构成GF（q）上的外差族当且仅当I′0=I′1=I′e-1，其中I′s=sum from 1≤t1，t2≤l，t1≠t2(it1-s，it2-s)e，0≤s≤e-1。定理2．5设q=ef+1为质数幂，Dj=Cj1（e）∪Cj2（e）∪…∪Cjl（e），1≤j≤h，则D={D1，D2…，Dh)是GF（q）上的（q，lf，λ；h）-EDF当且仅当J′0=J′1…=J′e-1，其中J′s=sum from 1≤i≠j≤h sum from 1≤t，k≤l （it-s，jk-s）e，0≤s≤e-1。定理2．9设q=2uk+1为质数幂，其中k是奇数，则D={C0(（2u），C1（2u），…，Cu-1（2u）}，是GF（q）上的（q，k，（k-1）／2）-DDF。定理2．10设q=2uk+1为质数幂，其中u是偶数，则D={C0（2），C1=（2）}，是GF（q）上的（q，（q-1）／2，（q-1）／2；2）-EDF。定理2．11设q=2uk+1为质数幂，其中uk是奇数，则D={Di：Di=C2i（2u）∪C2i+1（2u），0≤i≤u-1}，是GF（q）上的（q，2k，2k-1）-DDF和（q，2k，2k（u-1）；u）-EDF。定理2．12设q=2uk+1为质数幂，其中uk是奇数，则D={C2i（2u）：0≤i≤u-1}，是GF（q）上的（q，k，（k-1）／2）-DDF和（q，k，（q-2k-1）／4；u）-EDF。定理3．1设q=4f+1为质数幂，其中f是奇数，则D={C0（4），C2（4）}，是GF（q）上的（q，f，（f-1）／2）-DDF当且仅当q=1+4t2。定理3．2设q=4f+1为质数幂，其中f是偶数，则D={C0（4），C2（4）}，是GF（q）上的（q，f，f／2；2）-EDF当且仅当q=1+4t2。定理3．3设q为质数幂，q=6f+1，其中f是奇数，则D={C0（6），C1（6），C2（6）}，是GF（q）上的（q，f，f；3）-EDF当且仅当2x=a，2y=b，b=d，q=x2+3y2，4q=a2+3b2=c2+27d2。定理3．4设q=6f+1为质数幂，其中f是奇数，则D=C0（6）∪C1（6）∪C2（6），是GF（q）上的（q，3f，（3f-1）／2）-差集当且仅当2y=b，q=x2+3y2，4q=a2+3b2=c2+27d2。定理3．5设q=6f+1为质数幂，其中f是奇数，则D1=C0（6）∪C1（6）∪C2（6），D2=C3（6）∪C4（6）∪C5（6）是GF（q）上的（q，3f，3f-1）-DDF和（q，3f，3f；2）-EDF当且仅当2y=b，q=x2+3y2，4q=a2+3b2=c2+27d2。定理3．6设p=8f+1为奇质数，其中f是偶数，且p=x2+4y2=a2+2b2；x≡a≡1（mod 4），则D={C0（8），C2（8），C4（8），C6（8）}，是GF（p）上的（p，f，3f／2；4）-EDF当且仅当x+2a=3。定理3．7设p=8f+1为奇质数，其中f是偶数，且p=x2+4y2=a2+2b2=u2+v2；x≡a≈u≡1（mod 4）；v≡0（mod 8），则D={Di：Di=C2i（8）∪C2i+1（8），0≤i≤3}，是GF（p）上的（p，2f，2f-1）-DDF和（p，2f，6f；4）-EDF当且仅当y=-b。本论文共分为四章，第一章主要介绍一些概念及其相互关系。第二章介绍本文所需的预备知识，包括分圆数的概念和性质、本文的构造思想以及当q=2uk+1时外差族和不相交差族的进一步结果。第三章利用特殊阶分圆数构造相关差族。第四章为小结及探讨性问题。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 引言
• §1.1 差族与平衡不完全区组设计
• §1.2 外差族和不相交差族
• 第二章 分圆数与差族
• §2.1 预备知识
• §2.2 当q=2uk+1时外差族和不相交差族的进一步结果
• 第三章 利用特殊阶分圆数构造外差族和不相交差族
• §3.1 由4阶分圆数得到的结果
• §3.2 由6阶分圆数得到的结果
• §3.3 由8阶分圆数得到的结果
• 第四章 小结及探讨性问题
• 参考文献
• 致谢