论文摘要
极小曲面问题，又称为Plateau问题，目的是为了寻找以给定空间曲线为边界的面积极小的曲面，它从18世纪提出到现在一直是微分几何和偏微分方程理论的重要课题。极小曲面的平均曲率为0，因此有许多优良的性质，在建筑设计、飞机船舶制造、艺术、生物学、晶体发生学等领域都被广泛地应用。虽然在微分几何领域已经有了丰富的极小曲面理论，但是在CAD／CAGD领域做极小曲面造型研究的工作仍然不多，而今NURBS表示已经成为CAD／CAGD的标准，因此，研究极小曲面的B-样条逼近是非常有意义的工作。本文用CAGD的方法对极小曲面造型做了一些基础的研究。极小曲面方程是个非线性的偏微分方程，其复杂性导致一般没有显式表达的解，有限元方法是求解这类问题有效的办法。本文研究了用加权均匀B-样条函数做有限元的基函数空间，解决任意边界下极小曲面造型问题的方法。均匀B-样条函数不具备端点插值性质，在边界上不能自动为0，所以无法满足边界条件，本文通过对其加权来构造加权B-样条函数，权函数为到边界的距离函数ω，使加权均匀B-样条函数在边界上为0，从而满足边界条件。得到的数值结果证明本文中的方法简单有效，精度高。