论文题目: 抛物方程系数反演的优化方法
论文类型: 硕士论文
论文专业: 应用数学
作者: 陈群
导师: 刘继军
关键词: 反问题,抛物型方程,优化方法,最小二乘法,数值解
文献来源: 东南大学
发表年度: 2005
论文摘要: 在很多自然科学和工程应用领域里，人们常常会遇到反演微分方程未知系数的问题，这是一类经典的数学物理反问题——参数反演问题。众所周知，这类问题往往是不适定的，因此为了得到稳定的近似解我们需要利用各种正则化方法。本文采用的正则化方法是最小二乘法。 本文讨论反演下列抛物型偏微分方程定解问题 未知系数q(x)的数值优化方法，其中初始条件u_O(x)是已知的。本文所使用的反演输入数据是终端时刻的温度u(x，T)=z(x)。由于解u(x，t)依赖于系数q(x)，因此此问题是非线性的不适定问题。另一方面，解u(x，t)关于时间t以指数衰减，因此u(x，T)包含q(x)的信息非常弱，而且对于一般的初始条件u_O及观察值z(x)，此反问题的解没有唯一性。因此本文采用最优化方法来得到原问题的解。我们的反演过程是找q(x)使得相应的解u(q)(x，t)在终端时刻T附近的温度u(q)(x，t)(其中t∈[T，T-σ])在L~2范数意义下与z(x)充分接近。这儿σ是一个非常小常数，文中取为一个时间步长。 本文的主要思想是：首先利用最小二乘法将问题转化为求受约束的泛函极小元问题，并证明了无限维空间上泛函的极小元存在。然后利用有限元方法对上述定解问题进行离散，并证明了有限维空间上泛函的极小元存在以及有限维空间上的极小元收敛到无限维空间上的极小元。最后将离散的受约束问题转化为一列不受约束的极小元问题，并用Armijo算法对所得到的离散问题进行数值求解。数值例子很好的反映了文中所给方法的有效性以及Armijo算法的稳定性与全局收敛性。
论文目录:
摘要
Abstract
第一章 引言
§1.1 热传导方程参数反演问题的背景
§1.2 参数反演已有的工作
§1.3 本文的工作
第二章 参数反演的优化问题及极小元的存在性
§2.1 优化问题的提出
§2.2 极小元的存在性
第三章 离散的优化问题及其收敛性
§3.1 有限元方法
§3.2 有限维问题的极小元存在性及其收敛性
第四章 离散优化问题的迭代算法
§4.1 不受约束的极小元问题
§4.2 Armijo算法
第五章 数值实现
参考文献
致谢
发布时间: 2007-06-11
参考文献
- [1].一类能量泛函的径向极小元的渐近分析[D]. 刘红艳.南京师范大学2007
- [2].基于最优控制理论的退化抛物型方程的源项反演问题[D]. 钱坤.兰州交通大学2014
- [3].无限维空间的逼近特征[D]. 蔡斌畏.西华大学2010
- [4].带旋度算子的泛函极小问题[D]. 陈隽.华东师范大学2010
- [5].利用最优化方法确定二阶抛物型方程的低阶项系数[D]. 杨柳.兰州交通大学2007
- [6].三类发展型方程的系数反演问题[D]. 蔡超.兰州交通大学2016
- [7].无限维空间中强对偶定理的应用[D]. 邬月月.哈尔滨师范大学2017
- [8].S-系理论中若干问题的研究[D]. 张霞.华南师范大学2004
- [9].在非各项同性介质中的麦克斯韦方程组的反问题[D]. 赵丽霞.中国科学技术大学2015
相关论文
- [1].不适定问题的正则化理论及其应用[D]. 朱华平.武汉理工大学2007
- [2].关于抛物型偏微分方程反问题的一种新解法[D]. 岳素芳.哈尔滨工业大学2006
- [3].一类抛物型方程的系数反演问题[D]. 苏京勋.东南大学2006
- [4].逆散射问题探测法的数值实现[D]. 袁敏.东南大学2005
- [5].声波与热传导方程反问题的研究[D]. 杨阿莉.西北大学2007
- [6].基于遗传算法的正则化方法研究及应用[D]. 王贵.湖南大学2007
- [7].二维偏微分方程反问题的遗传算法研究[D]. 张世梅.西安理工大学2005
- [8].不适定问题的稳定化算法设计及应用[D]. 范小平.山东理工大学2006
- [9].抛物型方程反问题的遗传算法[D]. 陈亚文.西安理工大学2003
- [10].偏微分方程参数识别反问题正则化方法研究[D]. 王万斌.西安理工大学2003