特殊矩阵分析和鞍点问题迭代法

论文摘要

从20世纪初至今，非负矩阵，H-矩阵，M-矩阵及与之密切相关的其他特殊矩阵的应用日益广泛．特殊矩阵的分析是数值代数的核心方向之一，在计算数学，数学物理，经济学，生物学，物理学等领域都有广泛的应用．本文对几种特殊矩阵和数值特征进行了深入的研究，并且讨论了鞍点问题求解的迭代方法．本文主要内容和创新点包括：1．研究了两类特殊矩阵：H-矩阵和双对角占优矩阵．对H-矩阵和双对角占优矩阵的子直和进行了研究，给出H-矩阵的子直和是H-矩阵的充分条件．应用一些算例来说明所得到的充分条件推广了相关结论．获得双对角占优矩阵的子直和是双对角占优矩阵的充分条件，数值例子说明所得条件的有效性．进一步讨论了S-严格对角占优矩阵的子直和问题，补充了Bru，Pedroche和Szyld关于S-严格对角占优矩阵子直和研究的内容．2．研究了两类特殊矩阵：M-矩阵和逆M-矩阵．首先获得了具非零元素链对角占优M-矩阵逆的无穷大范数的上界估计．利用具非零元素链对角占优M-矩阵的特殊结构，M-矩阵和M-矩阵的逆矩阵元素之间的关系，得到M-矩阵逆的无穷大范数上界估计．进一步获得了M-矩阵最小特征值q（A）的下界．对逆M-矩阵和SPP（strict Path Product）矩阵之间相互关系进行了进一步的研究，根据矩阵阶数的大小，得到了一个新的数值，给SPP矩阵的对角元增加这一数值．使得SPP矩阵是逆M-矩阵．并且回答了4×4阶的SPP矩阵是否是P-矩阵的问题．本部分得到的结果优于近期的相关结果．3．给出了矩阵数值特征估计．得到了关于矩阵非奇异性新的判别条件，判别条件推广了严格对角占优性和B-矩阵的性质，利用这些判别条件得到了实矩阵实特征值的包含区间．并且基于C-矩阵与（?）-矩阵，获得了矩阵新的非奇异性判别条件，应用这些判别条件获得了实矩阵实特征值的排除区间．本部分得到的结论优于相关结论．通过对块对角占优矩阵和非严格广义块对角占优矩阵的研究，获得了判定块对角占优矩阵和非严格广义块对角占优矩阵奇异/非奇异性新的充分必要条件．并且给出了块对角等势矩阵奇异/非奇异性易于验证的判定条件．4．研究了鞍点问题求解的迭代方法．基于矩阵分裂，通过选择不同的预条件矩阵，得到相应的迭代方法．实验结果说明了本部分所得算法的有效性．

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 研究问题和背景
• 1.1.1 特殊矩阵
• 1.1.2 矩阵数值性质
• 1.1.3 鞍点问题迭代解法
• 1.2 本文主要研究内容、方法和创新点
• 1.3 本文结构安排
• 第二章 H-矩阵和双对角占优矩阵的子直和
• 2.1 H-矩阵的子直和
• 2.1.1 引言
• 2.1.2 预备知识
• 2.1.3 H-矩阵的子直和
• 2.2 双对角占优矩阵的子直和
• 2.2.1 引言
• 2.2.2 符号和概念
• 2.2.3 双对角占优矩阵的子直和
• 2.3 本章小结与展望
• 第三章 逆M-矩阵和M-矩阵
• 3.1 逆M-矩阵与SPP矩阵
• 3.1.1 引言
• 3.1.2 符号和概念
• 3.1.3 主要结论
• 3.2 具非零元素链对角占优M-矩阵逆的无穷范数上界
• 3.2.1 引言
• 3.2.2 符号和预备知识
• -1‖_∞的上界估计'>3.2.3 ‖A^-1‖_∞的上界估计
• 3.2.4 数值例子
• 3.3 本章小结与展望
• 第四章 矩阵谱估计与奇异/非奇异性判定
• 4.1 实矩阵实特征值的排除和包含区间
• 4.1.1 引言
• 4.1.2 实矩阵实特征值的包含区间
• 4.1.3 实矩阵实特征值的排除区间
• 4.2 非奇异/奇异性的判别准则
• 4.2.1 引言
• 4.2.2 符号和概念
• 4.2.3 块对角占优矩阵奇异/非奇异性的判别准则
• 4.2.4 广义块对角占优矩阵奇异/非奇异性的判别准则
• 4.3 本章小节与展望
• 第五章 鞍点问题迭代解法
• 5.1 经典鞍点问题迭代法
• 5.1.1 引言
• 5.1.2 迭代算法和收敛分析
• 5.1.3 基于矩阵分裂迭代算法
• 5.1.4 数值例子
• 5.2 本章小节与展望
• 第六章 结论
• 致谢
• 参考文献
• 攻读博士学位期间的研究成果