一类时间序列的频域分析及其应用

论文摘要

在时间序列分析中，频域分析在研究随机过程的统计性质方面一直扮演重要的角色。一方面因为频域分析在线性预报和滤波中有重要作用，另一方面因为频域分析中过程的谱密度，具有很好的物理解释，并且可由许多方法来估计，而不需要对过程的结构做特殊的假设。在本文中，我们研究由平稳的自回归滑动平均模型所衍生出的两类模型：单整（求和）自回归滑动平均模型以及分整的自回归滑动平均模型，在频域范围内分别讨论单整（求和）自回归滑动平均过程的周期图性质和分整自回归滑动平均过程的参数估计问题。设{Xt}是单整自回归滑动平均过程ARIMA（p，1，q），当p=q=0时，{Xt}就是一随机游走过程，Crato讨论了此种情形下过程周期图的性质。在本文中，我们将上述情形推广到较复杂的一阶单整自回归滑动平均过程的情形，得到了有关过程{Xt}周期图的两个渐近定理：结论一设{Xt}是单整自回归滑动平均过程ARIMA（p，1，q），Yt=（1-L）Xt，L是滞后算子，Yt为一自回归滑动平均过程，分别以fy（·），γ（·）表示过程Yt的谱密度函数和自协方差函数。则有：|1-e-iω|2In，X（ω）=In，Y（ω）+n-1Xn2-Rn（ω）ω∈[0，π]，ERn（ω）→0当n→∞ω∈（0，π）。因此，|1-e-iω|2EIn，X（ω）→2π（fy（ω）+fy（0））当n→∞。其中，In，X（·）表示过程的周期图。结论二设{Xt}是单整自回归滑动平均过程ARIMA（p，1，q），Yt=（1-L）Xt，L是滞后算子，Yt有这样的表示形式：Yt=sum from j=0 to∞ψjεt-j，sum from j=0 to∞|ψj|＜∞，εt～iid（0，σ2）。分别以fy（·），γ（·）表示过程Yt的谱密度函数和自协方差函数。如果sum from j=0 to∞|ψjj1/2|＜∞，Eεt4=ησ4＜∞，则有：ERn2（ωj）=2（4π2fy（ωj）fy（0））+O(n-1/2)ωj∈（0，π）。并且，对于傅立叶频率ωj，ωj∈（0，π）有：Cov（Rn（ωj），Rn（ωk））=O(n-1／2)ωj≠ωk，Cov(In，Y（ωj），Rn（ωk）)={O(n-1)ωj≠ωkO(n-1／2)ωj=ωk。当差分阶数d取分数时，过程就被称为是分整的自回归滑动平均过程，d∈（0，0.5）时，过程是平稳的，且具有长记忆性。所谓长记忆性，就是此时过程的自协方差函数以双曲率衰减，比通常的ARMA过程的自协方差函数衰减的要慢的多，这种记忆性的强弱就是由参数d来刻画的。在本文中，我们对于参数d的估计问题，分别从平滑谱估计和贝叶斯的角度提出了两种估计方法：结论三设{xt}是一分整的自回归滑动平均过程，则在一定条件下，记忆参数估计（?）的渐近分布为：N(d，2（1/ν+1/ν2）[sum from j=1 to g（n）(x（j，n）-（?）（n，g（n））2]-1)其中ν=2n/（M integral from n=-∞to∞ω2（u）du）。对于不同的窗函数ω（u），ν也不同。这里，n为样本量，M为最大延迟量或截断点。由于平滑谱估计是过程谱密度的一致估计，所以由此导出的估计具有较常用的GPH估计小的方差。结论四在频域范围内，将贝叶斯的思想引入，假设参数2d的先验分布为Beta（a，b）。则参数d的后验分布密度f（d|y1，y2，…，ym）以及它的最大后验密度估计所满足的关系式为：f（d|y1，y2，…，ym）∝π（d）δ/（ρ+λ）m+1。（a-1）/（?）-2（b-1）/（1-2（?））+sum from j=1 to m xj=（m+1）(sum from j=1 to m xjeyj+（?）xj/(λ+sum from j=1 to m eyj+（?）xj其中yj=lnIn，x（ωj）（{xt}的周期图坐标的对数），δ=multiply from j=1 to m eyj+dxj，ρ=sum from j=1 to m eyj+dxj，a，b，λ为先验分布的参数。并且，我们通过实证分析说明由此得到的估计对于频率个数的依赖性要比GPH估计弱，也就是说，当频率个数变化时估计是比较稳定的。对于给定的一组数据，通过AIC和SIC准则对其定阶，找出适合的用以拟合数据生成过程的模型。结论五将分整的自回归滑动平均模型引入到用于刻画金融市场数据波动性的随机波动模型中，在频域内，对此种情形下波动过程的记忆参数进行贝叶斯估计，得到估计的后验密度和最大后验密度估计：f（d|y1，y2，…，ym）∝（βαδ/Γ（α））(Γ（m+α）/（ρ+β）m+α)π（d）。（a-1）/（?）-2（b-1）/（1-2（?））+sum from j=1 to m xj=（m+α）(sum from j=1 to m xjeyj+（?）xj)/(β+sum from j=1 to m eyj+（?）xj)其中，δ=multiply from j=1 to m eyj+dxj，ρ=sum from j=1 to m eyj+dxj，α，β，a，b为先验分布的参数。对于由此得到的估计，我们通过数据模拟，计算其偏度和方差。由于我们引入了先验信息，所以估计的偏度和方差都比常用的GPH估计要小，并且对于频率个数的变化该方法所得到的估计也比GPH估计稳定。最后，我们还对实际数据进行处理，得到了与模拟相符的结果。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 问题的产生和研究现状
• 1.2 本文安排和主要贡献
• 2 单整的自回归滑动平均过程周期图的渐近性质
• 2.1 平稳序列与自回归滑动平均过程
• 2.2 单整自回归滑动平均过程周期图的渐近性质
• 2.3 结语
• 3 长记忆过程
• 3.1 长记忆过程的定义
• 3.2 分整白噪声
• 3.3 分整的自回归滑动平均模型
• 3.4 记忆参数的估计
• 3.5 结语
• 4 分整自回归滑动平均过程的参数估计
• 4.1 记忆参数的平滑谱估计
• 4.2 贝叶斯情形下的记忆参数估计
• 4.3 结语
• 5 长记忆随机波动模型的参数估计
• 5.1 CARCH和ECARCH模型
• 5.2 ICARCH和FICARCH模型
• 5.3 长记忆随机波动模型
• 5.4 长记忆随机波动模型的记忆参数估计
• 5.5 数据模拟与实证分析
• 5.6 结语
• 6 总结及展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录Ⅰ 攻读博士学位期间发表和录用论文目录