论文摘要
非线性偏微分方程精确解的有效求解方法已有好多，如Jacobi椭圆函数展开法，双曲正切法，混和指数法，齐次平衡法，Hirota方法，反散射方法，Backlund变换方法等等。其中双曲正切法是较有效的代数方法之一。由于求解非线性偏微分方程精确解的方法比较零散，每种方法对适用的方程都有较强的特征和技巧性要求，即不具有一般普适性。本文主要对非线性偏微分方程的精确解的求法和对称约化问题作了探讨。首先引入了秩的概念，对非线性偏微分方程进行了分类处理，并给出相应类型较适用的求解方法的初步判断方法；然后对偏微分方程作了形波变换，化成了常微分方程，利用Jacobi椭圆函数展开法和改进的双曲正切法，成功地求解了组合KdV方程，MKdV-Burgers方程，Joseph-Egri方程等几个非线性偏微分方程的精确解。同时给出利用辅助方程求非线性偏微分方程精确解的关键和难点所在。另一方面，本文作者根据微分方程对称理论群不变量法在求解常微分方程精确解方面具有较强的普适性特征，利用Lie对称群不变量法成功地将组合KdV方程，Joseph-Egri方程，mBBM方程，Fujimoto-Watanabe方程和经典Boussinesq系统等著名的非线性数学物理偏微分方程（组）约化为常微分方程（组），为用其它各种方法进一步求得方程的其它解提供了方便。本文在研究过程中主要用到了求微分方程的精确解的有效方法-双曲正切法，并结合齐次平衡法以及Mathematica计算软件和吴特征列集法等辅助手段。