论文摘要
计数组合学是组合数学的重要研究方向之一,主要研究有限集合上的组合结构在给定条件下的计数问题。本文的主要工作包括以下几个方面: 在第一章,定义了两族广义p-Stirling数,将二项式系数和经典Stirling数统一起来。讨论广义p-Stirling数的组合意义,将一维的有限集合分拆和排列推广到p-维情形;得到p-Stifling数的封闭形式的差分恒等式;并研究p-Stirling矩阵的行列式性质。 在第二章,研究一种简单而又重要的组合结构——Dyck路,这是近几年国内外的组合学者研究的一个热点课题。首先刻画了波谷严格递增的Dyck路与整数有序分拆之间的关系;然后利用双射、生成树以及Riordan阵的方法来对集合Dm的一些子集进行计数,得到一些以经典的序列如Catalan数、Narayana数、Motzkin数、Fibonacci数、Schr（?）der数以及第一类无符号Stirling数来计数的组合结构。特别地,给出两个新的Catalan结构,它们并没有出现在Stanley所给的关于Catalan结构的列表中。最后定义一种新的有禁排列模式,并讨论关联Dyck路与这种有禁排列之间的一些问题。 在第三章,研究广义Fibonacci多项式的代数性质,包括广义Fibonacci多项式的系数组成的矩阵的性质;广义Fibonacci多项式系数的组合意义;以及广义Fibonacci多项式的普通型卷积求和公式。 在第四章,基于MacMahon分拆技巧,将Sellers关于整数分拆的一个定理推广到更一般的情形（即将向量限制形式推广到矩阵限制形式）,并给出了大量有益的应用,其中涉及到许多经典的序列如Bell数、Fibonacci数、Lucas数和Pell数等。利用二叉表示之间的变换来研究将整数N表示成不同Fibonacci数之和的表示法的公式R（N）,得到了R（N）的新的递推关系式,通过这些关系,很容易计算R（N）在N很大时的值。
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标签：矩阵分拆论文; 矩阵排列论文; 差分恒等式论文; 行列式论文; 性质论文; 生成树论文; 广义多项式论文; 分拆技巧论文; 表示论文; 留数定理论文;