次黎曼流形上的几类变换

论文摘要

鉴于次黎曼几何学在控制论、PDE和模式识别等领域的广泛应用的事实,弄清楚次黎曼流形的几何特征,特别是变换论下相应的变换几何特征是有意义的。本文的主要目的是将黎曼流形中某些变换论下的相应的变换论几何学推广到次黎曼流形中去。首先,利用给定流形的向量丛上联络的存在性给出流形上的不可积分布上非完整联络的存在性证明,进而证明了次黎曼联络的存在唯一性,并以此为出发点研究了次黎曼流形中仿射变换、等距变换、共形变换和射影变换下的一些不变性质,给出了相应变换下的一些不变量。 第二章我们介绍了黎曼流形中的一些必要的基本知识和其上的变换论的一些主要结论。第三章,引入了非完整联络和Shouten张量的概念并证明了分布上非完整联络的存在性和次黎曼联络的存在唯一性,给出了非完整联络系数在正交基底下的坐标变换公式和非完整联络以及Shouten张量的一些性质。第四章,分别给出了分布上的仿射变换、等距变换、共形变换和射影变换的概念,研究了在这些变换下的一些不变性质,构造出相应变换下的不变量,并且和黎曼流形的情形作了比较,指出当分布可积时这些性质和黎曼流形的情形一致。

论文目录

• 1 引言
• 2 预备知识
• 3 次黎曼流形中的一些基本概念和结论
• 3.1 次黎曼流形的内蕴性质
• 3.2 非完整联络的曲率张量
• 4 次黎曼流形在某些变化下的一些不变量
• 4.1 仿射变换
• 4.2 等距变换
• 4.3 共形变换
• 4.4 射影变换
• 结论
• 致谢
• 参考文献