多项式微分方程的等价性

论文摘要

我们知道,对于一些不可积微分系统,寻找它的Poincaré映射是非常困难的.上个世纪八十年代,俄罗斯数学家Mironenko建立了反射函数理论,为寻找微分系统的Poincaré映射提供了一个全新的方法。本文应用Mironenko的反射函数方法来研究了微分方程与其扰动方程之间的等价关系,考虑了微分方程是多项式微分方程的情形,其中多项式的系数函数都是连续可微的.若连续可微函数F（t,x）是多项式微分方程的反射函数,当且仅当F（t,x）满足反射函数的基本关系式.当我们用反射函数F（t,x）来研究多项式微分方程时,如果多项式的系数函数都是2ω-周期函数,那么多项式微分方程的Poincaré映射可以定义为T（x）=F（-ω, x）.从而多项式微分方程在[-ω,ω]上有意义的解φ（t;-ω,x）为2ω-周期,当且仅当x为映射T的不动点,即F（-ω, x）=x.如果多项式微分方程与其扰动方程具有相同的反射函数,则我们称它们是等价的.由等价性,若某些微分方程属于同一等价类,且它们又是周期微分方程,则它们的Poincaré映射就相同,从而它们的周期解的性态也相同.在本文中我们着重研究了多项式微分方程与其扰动方程之间的等价关系,特别的,当扰动项是多项式和有理分式函数时,它们之间等价的充要条件,推广了文献[28][29]中关于Riccati方程和Able方程研究的相关结论.进一步我们研究了,当扰动项是多项式函数的线性组合和有理分式函数的线性组合时,它们之间等价的充要条件.由该讨论我们看出,一个多项式微分方程不仅可以与多项式微分方程等价,同时还有可能与非多项式微分方程等价,也就是说,当它们都是周期方程时,其Poincaré映射相同,从而它们的周期解的性态也相同.另一方面,利用等价性,我们可以将复杂微分方程的研究转化为简单微分方程的研究.在一般情况下,研究一个多项式微分方程的扰动方程要比研究多项式微分方程本身更困难.如果我们研究了多项式微分方程的反射函数,由反射函数的性质,我们就知道了多项式微分方程解的性态.利用等价性,我们可以将复杂微分方程的研究转化为简单微分方程的反射函数的研究,从而进一步就知道了复杂的扰动微分方程解的性态.因此研究一个微分方程的反射函数,就可以知道与其等价的一类所有微分方程的解的性态.对于一个常系数的二次多项式微分系统,可以通过变换化成一个Able方程,一个线性微分方程组可化成一个Riccati方程,那么研究一个多项式微分方程解的性态,就为进一步研究微分系统解的性态提供了帮助.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 0 引言
• 1 预备知识
• 2 主要结论
• 3 应用举例
• 参考文献
• 致谢