二元样条函数方法求数据插值拟合问题

论文摘要

样条函数被认为是在数值逼近,计算机辅助设计,图像分析和数值分析等方面的一种高效率的工具。随着计算机的高速发展,样条函数以其便于计算机存储、计算稳定、局部支集以及便于交互控制等优点,成为各类工程计算、计算机辅助制造/设计和几何建模等大型软件的重要数学工具之一。早在60年代一元样条的理论就开始了快速的发展,许多论文和书籍都纷纷发表,这种发展一直持续到80年代并到达了顶峰。现在我们所熟悉的理论都是在那个时候建立的（[10]和[31]）。一元样条现在已经成为各种应用领域重要的工具,并且是现在数值分析中重要的一个方向。如果说60到80年代是一元样条的时代的话,现在就是多元样条的时代。早在80年代,就有一些关于二元、三元分片多项式作为有限元的结果,但那时人们并没有重视多元的样条。现在关于多元样条的论文多的举不胜举。本论文主要讨论的是多元样条（特别是二元样条）函数方法在数据插值拟合中的应用。这里我们所说的多元样条是指由定义在一些三角剖分上的分片多项式的集合,而这些分片多项式之间满足一定的连续条件,从而整体上达到一定的光滑性。多元样条和一元样条一样也具有许多优秀的性质,这些性质使它成为非常重要的工具。比如多元样条在计算函数值和导数值的时候具有高效、稳定的算法等。本论文分为四章。第一章首先介绍样条函数的B-形式,接着推出在B-形式下的一些基本算法。比如de Casteljau求值算法,求导、求积以及求内积算法等。这些算法在构造矩阵方程时起到了重要的作用。然后介绍了分片多项式的拼接条件以及如何建立整个样条空间,并简单的分析了一下常用的各种三角剖分。最后介绍了一个用于矩阵计算的迭代算法。第二章主要讨论了散乱数据Hermite插值问题。我们首先从如何构造满足条件的样条函数说起,从文章[26]和[29]中得到启发,提出了新的能量函数,来满足数据Hermite插值的要求。并讨论了它的存在性和唯一性,以及它的逼近结果。从结果上来看,如果散乱数据来自一个光滑的函数,那么我们做出的样条函数能够充分的逼近于它。最后我们构造了一些数值例子来说明它的逼近结果,同时也采集了中国大陆的各个地方的风速大小作为数据进行插值实验,并构造了中国大陆的风速势力场。最后两章主要讨论了散乱数据拟合的问题。当散乱数据充分多或者相对较少的时候,显然用插值方法已经不合适了,我们只能用拟合的方法。其中第三章我们采用的是扩展罚函数方法来解散乱数据相对较少的拟合问题,特别是我们对曲面的扰度有特别要求的时候。相比于普通的罚函数方法[44],我们提出的扩展罚函数法可以处理带导数信息的数据。因此可以看成是罚函数法的推广。而最后一章我们采用的是扩展带权的二乘法来解散乱数据充分多的拟合问题,特别是我们知道各种数据的误差程度或数据带有导数信息的时候。我们可以通过对权的选择,来调整各种数据的重要性,并加入了对数据误差的概率分析,发现了多次拟合后求平均可以明显改善误差这个结果。同样的这两章我们都是从样条函数的存在性和唯一性讨论起,并给出了它的逼近结果以及一些数值例子。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 背景知识
• 1.1 样条函数的B-形式
• 1.2 样条函数的Bernstein-Bézier方法
• 1.3 样条函数的光滑性条件及其空间
• 1.4 常用的三角剖分以及不等式
• 1.5 一个矩阵迭代算法
• 第二章 散乱数据Hermite插值问题
• 2.1 最小能量法的概论
• 2.2 最小能量法解的存在性和唯一性
• 2.3 最小能量法解的逼近误差
• 2.4 特殊剖分上的样条空间
• 2.5 Hermite插值的数值例子
• 第三章 用扩展罚函数法来解散乱数据拟合问题
• 3.1 扩展罚函数法的概论
• 3.2 扩展罚函数法解的存在性和唯一性
• 3.3 扩展罚函数法解的逼近误差
• 3.4 扩展罚函数法的数值例子
• 第四章 用扩展带权的二乘法来解散乱数据拟合问题
• 4.1 扩展带权的二乘法的概述
• 4.2 扩展带权的二乘法解的存在性和唯一性
• 4.3 扩展带权的二乘法解的逼近误差
• 4.4 扩展带权的二乘法的概率分析
• 4.5 扩展带权的二乘法的数值例子
• 第五章 未来工作
• 5.1 球面样条函数简介
• 参考文献
• 简历
• 发表和录用的文章目录