论文摘要
常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉,它是常微分方程学科的重要组成部分之一。常微分方程两点边值问题（如Dirichlet边值问题、Neumann边值问题、Robin边值问题、Strum-Liouville边值问题等）已被深入而广泛的研究,并取得了系统而深刻的结果.事实上,自1893年Picard运用迭代法讨论非线性二阶常微分方程两点边值问题解的存在性和唯一性之后,常微分方程两点边值问题的研究获得了蓬勃发展。20世纪以来,泛函分析逐渐成为研究常微分方程边值问题的重要理论基础。事实上,常微分运算和积分运算的共同特征是,它们作用到一个函数后都得出新的函数,可以将这些运算统一抽象为算子。泛函分析正是在算子概念的基础上发展起来的。上世纪30年代中期法国数学家勒雷（J.Leray）和绍德尔（J.Schauder）建立了Leray-Schauder度理论。他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函方程时,取得了巨大的成功。尤其是这种理论对常微分方程边值问题的应用,形成了常微分方程拓扑方法或泛函方法。其核心是各类不动点定理的建立和应用。在泛函分析理论和实际问题的推动下,常微分方程边值问题的研究在近半个世纪里发展十分迅速。除了传统的二阶常微分方程两点边值问题之外,开始研究高阶微分方程的边值问题。并且随着新问题的出现,形成了许多新的研究方向—奇异边值问题,无穷区间上的边值问题,带p-Laplace算子或Laplace-like（拉普拉斯型）算子的微分方程边值问题,常微分方程多点边值问题,常微分方程脉冲边值问题。取得了一系列研究成果,成为一个经久不衰的研究热点。本文利用锥理论,上下解方法,单调迭代方法,锥拉伸压缩不动点定理,不动点指数理论等首次对非线性奇异多点边值问题正解存在的充分必要条件进行了研究,得到了一些新的结果。这些结果大都已经发表在国内外重要的学术期刊上,如美国的J.Math.Anal.Appl.（SCI）、英国的Appl.Math.Comput.（SCI）、加拿大的Dynamic of Continuous,Discreteand Implsive Systems（SCI）及韩国的Nonlinear Funct.Anal.Appl.等。全文共分为五章。在第一章我们通过采用最大值原理,单调迭代技巧和上下解方法研究了一类非线性奇异次线性三点边值问题,得到了C[0,1]和C1[0,1]正解存在的充分必要条件,同时我们也对C1[0,1]正解的唯一性,单调迭代方法以及收敛率进行了探讨。第二章是第一章的继续,在这一章里我们在更宽松的条件下对第一章中的问题进行了探讨,得出了类似的结果。第三章在非线性项混和单调的情形下,对一类非线性奇异三点边值问题进行了探讨,得出了C[0,1]正解存在的充分必要条件,部分地扩充了第一章,第二章的结果。第四章通过建立新的最大值原理,在非线性项混和单调的前提下,我们研究了一类非线性奇异m点边值问题,得出了光滑正解存在的充分必要条件,并且指出了在一定条件下,光滑正解恰是唯一的C[0,1]正解。补充了第三章中的结果。第五章在非线性项单调递减的前提下,我们得出了一类非线性奇异m点边值问题C[0,1]和C1[0,1]正解存在的充分条件。值得指出的是,在这一章里我们虽然使用了上下解方法,但是我们并没有假设上下解的存在性。
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标签：三点边值问题论文; 点边值问题论文; 最大值原理论文; 上下解论文; 正解论文; 充分必要条件论文; 全连续算子论文;