低维凝聚体中的孤子动力学：Darboux变换法

论文摘要

实验成功地在玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）中观测到亮孤子和暗孤子,从而有关非线性物质波的研究成为人们广泛研究的热点之一。BEC形成以后可以用基于平均场理论的Gross-Pitaevskii（GP）方程来描述,对于GP方程而言在实验中可调控的主要物理量是s-波散射长度（可以描述原子之间的相互作用强度）和外部囚禁势阱。其中原子之间的相互作用是BEC物理性能研究中的核心问题,此外外部囚禁势阱对BEC的非线性动力学行为也起到非常重要的作用。因此,本文主要从GP方程出发,利用Darboux变换法,解析的地研究了处于恒定外部势阱中或不同生长模型中的BEC的非线性动力学性质,得到了一些有意义的研究成果,具体内容如下:第一章,阐述了BEC的基本理论、实验进展情况及研究意义。BEC具有重要的基础研究意义和美好的应用前景。而且BEC极有可能像激光那样给人类带来另外一次技术革命。第二章,介绍了我们的研究方法:Darboux变换法。基本思路是:利用非线性方程的一个解及其Lax对的解,用代数及微分运算得出非线性方程的新解。Darboux变换是求解非线性微分方程的一种非常实用的方法,比多尺度法、双线性变换法等其它方法更简单、更实用。第三章,考虑凝聚体中玻色子之间的相互作用为常数,解析地研究了局限于恒定不变外部势阱中的玻色-爱因斯坦凝聚体的非线性动力学性质。结果发现凝聚体中的粒子之间的相互作用强度对其非线性动力学特征有重要的影响。当玻色子之间的相互作用相当强时,凝聚体中只会存在亮孤子;而玻色子之间的相互作用相当弱（小于临界值）时,凝聚体中会出现亮孤子和暗孤子交替演化。第四章,考虑凝聚体中原子相互作用随时间作指数形式变化,利用Darboux变换解析地研究了一维生长的BEC的非线性动力学行为。结果表明:凝聚体的生长对其中的孤子的振幅有重要的影响。当凝聚体没有生长时,凝聚体中会出现交替稳定的亮孤子。而当凝聚体中原子减少时,亮孤子的振幅会减小;当凝聚体从外部热原子云中吸取原子时,亮孤子的振幅会增大。第五章,研究了周期性变化生长模型中BEC的双孤子的相互作用性质。结果表明:在凝聚体中原子间相互作用随时间作周期性变化和凝聚体中的粒子数发生改变的影响下,凝聚体中的两个孤子会发生分离和融合等一些有趣的现象。并且这种现象在当前实验条件下就能够被观测到。最后,我们对本文的研究工作做了一个简单的总结和展望。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 BEC 的理论
• 1.2 BEC 的实验简介
• 1.3 当前BEC 的研究动态
• 1.4 BEC 的研究意义
• 第2章 基本方法
• 2.1 Darboux 变换法
• 2.2 Darboux 变换法中的AKNS 系统
• 2.3 小结
• 第3章 恒定不变外部势阱中的BEC 孤子演化
• 3.1 引言
• 3.2 模型
• 3.3 BEC 处于一个恒定不变的外部势阱中的解析解
• 3.4 BEC 中的孤子行为
• 3.5 小结
• 第4章 生长凝聚体中的单孤子动力学
• 4.1 引言
• 4.2 指数形式的生长模型
• 4.3 生长模型的单孤子解析解
• 4.4 亮孤子幅度的调控
• 4.5 小结
• 第5章 生长凝聚体中的双孤子行为
• 5.1 引言
• 5.2 周期性生长模型
• 5.3 双孤子的解析解
• 5.4 双孤子的分离和融合
• 5.5 小结
• 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历及攻读硕士学位期间发表的论文