一类奇异方程组的求解和扰动分析

论文摘要

本文主要研究奇异线性方程组的有关理论，在众多的奇异线性方程组中，一类其系数阵是值域Hermite的奇异线性方程组近年来引起了许多学者的关注，这类矩阵（也称为EP阵）以及与其相应的线性方程组出现在许多应用问题中。对其广义逆的研究表明，其广义逆是保持正则逆最多性质的一类广义逆，另外其相应的方程组的解的结构也有一些一般奇异线性方程组所没有的良好性质。在奇异线性方程组的求解方法中，我们提出了基于正则分裂的二级迭代法并给出收敛分析；在论文的第三章我们对奇异的结构化矩阵的置换秩进行了研究，得到了一些结论并给出了应用。在奇异线性方程组解的扰动分析方面，我们首先从最具有代表性的广义逆着手，给出了扰动结果，并推广到加权广义逆，最后讨论了奇异线性方程组的条件数，从而推广了非奇异线性方程组的条件数的一些结果，在论文最后一章，以Navier-Stokes方程为例，首先说明Navier-stokes方程经差分离散后所得的线性方程组是EP线性方程组，鞍点问题一般由Navier-stokes方程、Oseen方程或Stokes方程引出。对这类问题的求解，已经存在很多方法，其中包括直接法、Uzawa类型算法及Krylov子空间方法。本文回顾了已经存在的Uzawa类型算法，将Zulehner在[82]中提出的统一方法应用到广义鞍点问题，分析了算法的收敛性问题，并给出了定理和结论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• 第二章 EP阵与奇异线性方程组解的分析
• §2.1 EP阵和广义逆
• §2.2 奇异线性方程组的解的性态
• §2.3 正则分裂迭代法求解奇异线性组
• 第三章 结构化矩阵广义逆的置换秩
• §3.1 {1,2}逆的Sylvester置换秩
• §3.2 加权Drazin逆的Sylvester置换秩
• §3.3 加权Drazin逆的置换秩的应用
• 第四章 扰动分析
• §4.1 广义逆{2}逆的扰动
• §4.2 加权Drazin逆的扰动
• §4.3 P,Q-范数意义下的条件数
• §4.3.1 条件数的敏感性
• T,S/（（2））)的分量条件数'>§4.3.2 广义逆A_T,S/（（2））)的分量条件数
• §4.4 小结
• 第五章 广义鞍点问题
• §5.1 引言
• §5.2 两种迭代法和谱估计方法
• §5.2.1 不精确Uzawa算法
• §5.2.2 对称预条件
• §5.3 收敛性分析
• §5.3.1 不精确Uzawa算法的收敛性分析
• §5.3.2 对称预条件方法的收敛性
• 参考文献
• 致谢