椭球冠的体积和面积公式

论文摘要

我们在以往的学习工作和研究中关于冠状体考虑最多的问题就是低维空间中球冠的体积和面积的计算,对于球冠的相关问题在低维空间中研究的比较多,这些都可以在很多资料和教科书上查到,而对于将球冠问题推广到高维空间中研究几乎为空白。在了解了低维空间球冠的相关定义,体积和面积公式后,我们在此基础之上能否将其相关的问题平行或相似推广到椭球上?但在这方面低维空间的文章和参考资料实在很少,更不用说在高维空间中的情形。经过研究可以发现,在对低维空间中球冠的定义加强条件后,将其定义平行的推广到椭球上面是完全可行的,并且可以将球和球冠的情形作为椭球和椭球冠的特殊情形,对其研究可以得出一系列结果。我的毕业论文就是在此基础上提出了关于椭球冠的定义,并且给出了关于椭球冠体积的具体公式和椭球面积和椭球冠面积的—般表达式。本文的第一部分内容是关于椭球冠的定义以及其他几个重要的定义和引理。定义1（椭球冠,椭球冠表面）设在欧氏空间En+1中n+1轴椭球体的标准方程为;其中,ai＞0,i=1,2,…,n+1.n≥1.我们在某一轴xi,（i=1,2,…,n+1）上取与轴xi垂直的超平面xi=h,（h∈[0,ai]）和超平面xi=ai,这两个超平面之间的那部分椭球体称为椭球冠,它的表面称为椭球冠表面。令H=ai-h为椭球冠的高。定义2（Riemann-Stieltjes积分）设α是[a,b]上的实值单调增加函数油于α（a）与α（b）有限,故α在[a,b]上有界)。对应于[a,b]的每个划分P,记注意△αk≥0。设f是[a,b]上的有界实值函数,且设数分别叫做f关于α与P的上、下Darboux和。设其中下确界与上确界仍是对[a,b]的所有划分取的。若上式的左端相等,公共值记为;称之为f在[a,b]上关于α的Riemann-Stieltjes积分。引理1（n+1轴椭球体积）在n+1维欧氏空间En+1中n+1轴椭球sum from i=1 to n+1（xi/ai）2≤1是其中Γ（.）是Gamma函数。引理2（曲面面积积分公式）设区域D是n维曲面上的有界域,f（xi,…,xn）是区域D上的连续一阶偏导数。曲面S是由函数xn+1=f（x1,…,xn）,所围的,这里（x1,…,xn）∈D。那么曲面S的面积公式为;其中,（x1,…,xn）∈D（?）En。引理3（n+1维球的体积公式）设Brn+1={x=(x1,…,xn+1)∈En+1;‖x‖≤r}是欧氏空间En+1中半径为r的球,那么球Brn+1的体积为;其中Γ（.）是Gamma函数。引理4（n+1维球面的面积公式）设Srn={x=(x1,…,xn+1)∈En+1;‖x‖=r}欧氏空间En+1中半径为r的球面,那么Srn的面积为;其中Γ（.）是Gamma函数。注;在引理3和4中,我们令r=1,则可以得到n+1维单位球的体积和单位球面的面积;其中κn+1是单位球的体积。On是单位球面的面积。引理5（E.Catalan公式）设函数f（x,y）,g（x,y）连续于—个有界闭区域（D）上,且函数g（x,y）的最大和最小值分别为M和m;设φ（u）表示一函数,在[m,M]上连续。以φ（u）表示积分散布在区域（D）的适合下面所示不等式的那一部分*。则E.Catalan公式成立;其中右端的积分是在斯底尔吉斯（Stielfjes）意义下取的。*我们假定,方程g（x,y）=u表示一闭曲线,故区域的此处提到的部分是由两个这样的曲线所限制着的。注;关于E.Catalan公式的证明参见菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》（第三卷第一分册）,商务印书馆,1957;162-163。下面是我的毕业论文的主要结果;n+1维欧氏空间En+1中n+1轴椭球的标准方程记为;其中,ai＞0,i=1,2,…,n+1。由于n+1条轴的对称性,我们方便起见,只考虑椭球冠取在x1轴上的情形。定理1（n+1椭球冠的体积公式）设n+1维欧氏空间En+1中n+1轴椭球的标准方程记为;sum from i=1 to n+1（xi/ai）2≤1其中,ai＞0,i=1,2,…,n+1。椭球夹在超平面x1=a1和x1=h,（h∈[0,a1]）之间的部分称为椭球冠。我们用Vn+1（cap）表示椭球冠的体积。则我们可以得到椭球冠的体积公式为;其中,n≥1,I0=π/2-arcsinh/a1,I1=1-h/a1Vn+1=Vol（sum from i=1 to n+1（xi/ai）2≤1）是n+1维椭球的体积,V0（cap）=1,and V1（cap）=a1-h。注;从上面定理我们可以得到一系列推论,具体的详细推论请看论文,这里我们只提一下由此定理得到的球冠的体积公式。推论1（n+1维球冠的体积公式）在定理1中,我们令ai=r,（i=1,…,n+1）,则我们可以得到n+1维球冠的体积公式;其中,n≥1,I0=π/2-arcsinh/r,I1=1-h/r,Voln+1（ball）=Vol（sum from i=1 to n+1 xi2≤r）是n+1维球的体积公式。这里规定Vol0（cap）=1,Vol1（cap）=r-h。定理2（n+1维椭球面的面积表达式）设n+1维欧氏空间En+1中n+1轴椭球面的方程为这里规定ai≥ai+1（i=1,…,n）。那么,椭球面的面积表达式;这里此处αn+1i,（i=1,2,…,n）与我们在2维空间中关于椭圆定义的离心率一致,在此我们将其定义为广义离心率。下面我们通过n+1维广义球面坐标变换将椭球面的面积表达式变成参数的形式。定理3（n+1维椭球面面积的另一表达式）设n+1维欧氏空间En+1中n+1轴椭球面的方程为这里规定ai≥ai+1（i=1,…,n）.,那么椭球面在区域上积分,我们得到面积公式;其中,0≤φ1,φ2,…,φn-1≤π,0≤φn≤2π。在定理3中,令ai=r（i=1,…,n）。我们可以得到n+1雏欧式空间En+1中半径为r的球的面积公式。在此作为它的推论。推论2（n+1维球面面积的另一表达式）设Srn={x=(x1,…,xn+1)∈En+1;‖x‖=r}是n+1维欧式空间En+1中半径为r的球,那么球Srn的面积公式;这里和规定0!!=1和（-1）!!=1下面我们将考虑椭球冠的面积公式。根据椭球冠的定义,我们取垂直与xi轴的超平面xi=hi=1,…,n+1.。在xi=h与椭球面的相交部分上取点P,βi是xi轴正方向与OP的内角,这里φi∈[0,βi],所以,我们可以得到椭球冠的面积定理4（n-1维椭球冠的面积）设n+1轴椭球面的标准方程为;则在积分域D″上椭球冠的面积是;这里0≤φn≤2π。推论3（n+1维球冠的面积）设Srn={x=(x1,…,xn+1)∈En+1;‖x‖=r}是n+1维欧式空间En+1中的半径为r的球面。取垂直与x1轴的超平面x1=h,h∈[0,α1]。β1是x1轴正方向与OP的内角,这里φ1∈[0,β1],所以,我们可以得到椭球冠的面积;这里（2k-2）!!=2·4·6……（2k-4）·（2k-2）,（2k-1）!!=1·3·5……（2k-3）·（2k-1）.φ1∈[0,β1].规定0!!=1和（-1）!!=1

论文目录

• Acknowledgemetns
• Contents
• 论文详细摘要
• Abstract
• 1.Basic knowledge
• 1.1 Introduction and basic concepts
• 1.2 Preliminary
• 2.The volume formula of ellipsoidal cap and corollary Introduction
• 2.1 Preliminary
• 2.2 The volume formula of ellipsoidal cap
• 2.3 Corollary
• 3.The area formula of ellipsoid and it's cap
• 3.1 Preliminary
• 3.2 The area formula of ellipsoid and it's cap
• Bibliography