关于交换对称性正曲率度量的若干性质

论文摘要

曲率是黎曼几何中的热门研究课题。几何学家对曲率的研究已有很长的历史了,并且取得了一定的进展。但我们对曲率的认识仍然相当有限,缺乏例子是这一研究的最主要的障碍。基于这种情况,Karsten Grove在1991年提出:对于正曲率的黎曼流形,可以先研究具有较大等距群的那一类流形（被称为Grove’s proposal）。此后,这一领域有了很大的发展。在最近十年中,B. Kleiner, W. Hsiang, K. Grove,X. Rong, F. Fang, B. Wilking等都对该领域作出了贡献。 X. Rong在他的文章中提到了如下定理:设M是一个具有正截面曲率的闭流形,李群Tk（k≥1）等距地作用于M上。φ:M→M是等距映射,且与Tk可交换。则φ保持一个Tk-圆轨道。 在研究等距群较大的正曲率流形的基本群的时候,上述Rong定理是一个基本的工具。Rong给出了该定理的奇数维情形的证明,并且指出这个定理对偶数维情形也成立,但没有给出证明。 本文将给出Rong定理偶数维情形的证明细节。采用的证明方法是对M的维数进行归纳。前两章是预备知识,列出了证明Rong定理所需要的一些定理和引理。第三章是对Rong定理偶数维情形的证明。由Synge定理,奇数维正曲率闭流形M总是可以定向的。然而当M是偶数维时,我们还需要讨论另外一种情况,即M是不可定向时的情形。

论文目录

• Table of Contents
• 0 Introduction
• 1 Isotropy groups and orbit spaces
• 1.1 Isometric G-action and isotropy groups
• 1.2 Isometric G-action and orbit space
• 1.3 Gray-O'Neill Riemannian submersion formula and its application
• 2 Positive curvature and symmetry rank.
• 2.1 Geometry of fixed point sets
• 2.2 Positive curvature and fixed point sets
• 2.3 Positive curvature and fundamental groups
• k-actions'>2.4 Positive curvature and isometric T^k-actions
• 3 Proof of Rong's Theorem
• 3.1 Proof of the theorem when φ is orientation preserving
• 3.2 Proof of the theorem when φ is orientation reversing
• 3.3 Proof of the theorem when M is non-orientable
• Bibliography