扩散限制凝聚生长的分析与控制

论文摘要

分形生长是分形理论及其应用研究中的一个重要的研究方向。扩散限制凝聚是分形生长中的一个典型的生长过程,它在生物、物理、数学、工程等领域有着广泛的应用,它提供了一个理解许多其它生长过程的基础,可以用来预测某些实际随机凝聚的生长速率与时间的关系,以及它们的物理机制和输运特性。尤其是近年来人们应用它来模拟癌细胞的扩散凝聚,使得分形生长成为目前非线性领域的一个研究热点,但目前大多数的研究工作仍集中于计算机模拟,因此对其数学机制和物理机制的研究变得尤为重要。本文从描述扩散限制凝聚的数学模型入手,详细地对生长过程进行了系统的分析、研究和控制,内容主要涉及以下几个方面:描述扩散限制凝聚生长的数学模型是拉普拉斯方程,本文在已有的用拉普拉斯方程模拟分形生长的基础上,提出了改进的生长模型,并对分形生长过程进行了仿真,为后续的研究工作奠定了基础。根据布朗运动随机行走的意义,在拉普拉斯方程离散化过程中引入了迭代步长,模拟并分析了迭代步长的变化对分形生长以及分形维数的影响。尤其是各个方向上不等步长的分析,体现了分形各向异性生长的性质。将热传导方程中的有源扩散方程应用到分形领域,利用离散扩散方程解矩阵的特点引入源项,分析了不同形式的源项对决定分形生长的浓度分布规律的影响,实现了分形生长的有效控制。同时为选择合理的控制参数和控制区域提供了一种参考方法,使得扩散限制凝聚生长这种复杂的动力学行为变得可以预测和控制。在论文的最后,给出了结论和展望。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 课题背景与研究现状
• 1.3 拟研究问题及论文安排
• 第二章 分形和分维
• 2.1 什么是分形
• 2.2 典型分形的例子
• 2.3 分形维数
• 第三章 扩散限制凝聚（DLA）生长
• 3.1 DLA模型的规则
• 3.2 DLA生长的试验研究
• 3.3 DLA分维的计算方法-Sandbox方法
• 第四章 改进的生长模型和迭代步长的引入
• 4.1 引言
• 4.2 描述DLA生长的数学模型
• 4.3 拉普拉斯分形生长模型
• 4.4 改进的分形生长模型
• 4.5 迭代步长对分形生长的影响
• 4.6 小结
• 第五章 有源扩散分形生长的控制
• 5.1 引言
• 5.2 有源扩散系统
• 5.3 离散扩散方程解矩阵的特点
• 5.4 DLA生长的源项控制
• 5.5 小结
• 第六章 结论
• 参考文献
• 附录
• 致谢
• 硕士期间论文发表、撰写和参与的科研项目
• 学位论文评阅及答辩情况表