Obrechkoff方法在求解常微分方程振荡、刚性问题中的应用研究

论文摘要

由于常微分方程本身的重要性以及在不同领域的广泛应用，贯穿整个20世纪，常微分方程的数值求解研究得到了巨大的发展。特别是，随着计算机性能的快速提高，一些著名数学软件的不断深化发展，更多的新思想得以实现，更多的复杂方法涌现出来，常微分方程数值求解以及数值方法发展研究的领域有不断深化扩大的趋势。 计算机的数值计算功能对物理学中常微分方程研究的用途不仅仅是可以得到数值结果，更为重要的是，它为物理学家提供了“计算机模拟实验”这个新的研究手段。有了计算机数值计算这个强有力的工具，我们将目光投向物理领域中一些较为复杂的常微分方程（非线性Duffing方程，周期性振荡方程以及刚性方程）的数值求解与相应数值方法的研究。 在物理领域中，常常可以遇到一些应用很是广泛的常微分方程，例如薛定锷方程、非线性Duffing方程、天体轨道方程以及刚性方程等。这些方程多为一阶或二阶的常微分方程，形式简单，却很少能得到解析解。即使数值求解也往往存在着求解精度不高或因方程本身性质特殊造成数值方法求解结果不尽理想。在这些问题中具有代表性的有两类问题：周期性振荡问题与刚性问题。 在本论文中，我们主要集中于这两类问题相应的数值方法研究做出探讨。 对于周期性振荡问题，我们主要关注二阶常微分方程 y″（x）+ω2y（x）=f（x，y），y′（0）=y′0，y（0）=y0这类方程的近似解析解中常包含cos（ωx）、sin（ωx）或eiωx等周期性函数。鉴于其周期振荡性质，往往造成数值方法求解困难，结果出现不稳定，甚至发散。 我们研究发现对于具有周期振荡性质的问题必须有匹配的数值方法，即数值方法也需具有周期振荡性质。否则即使原本精度很高的方法，如果与所求解问题的性质不匹配，数值求解的结果也往往是不理想，甚至得到发散的结果。反之，如果数值方法与问题匹配但精度不够，同样也不能得到满意的结果。 为此，我们从两方面出发研究针对周期性振荡问题的数值方法。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 历史回顾
• 1.2 本文研究结构
• 第2章 一维常微分方程初值问题背景知识
• 2.1 简介
• 2.2 常微分方程初值问题的特点
• 2.3 差分方法
• 2.4 一阶欧拉方法
• 2.5 TAYLOR级数方法
• 2.6 相容性、阶数、稳定性与收敛性
• 2.7 单步方法
• 第3章 线性多步方法的发展与高阶微商的应用
• 3.1 线性多步方法概述
• 3.2 NUMEROV方法
• 3.3 高阶微商的利用—OBRECHKOFF方法
• 3.4 OBRECHKOFF方法的发展
• 第4章 针对周期性两阶常微分方程的P稳定分析
• 4.1 简介
• 4.2 稳定性分析与P稳定的定义
• 4.3 NUMEROV方法的P稳定性分析
• 4.4 P稳定性分析中的相位滞后（相位误差或频率失真）
• 第5章 含参数的OBRECHKOFF方法
• 5.1 含参数的特殊结构四步OBRECHKOFF方法
• 5.2 四步OBRECHKOFF方法的稳定性分析
• 5.3 三角拟和的P稳定两步OBRECHKOFF方法
• 5.4 不带衰减的非线性DUFFING方程
• 5.5 高阶微商的计算简化技巧
• 5.6 四步OBRECHKOFF方法的递推关系
• 5.7 一阶公式与计算效率
• 5.8 数值结果与分析
• 第6章 三角拟和的P稳定四步OBRECHKOFF方法
• 6.1 P稳定的四步OBRECHKOFF方法
• 6.2 三角拟和的P稳定性分析
• 6.3 数值结果与分析
• 第7章 OBRECHKOFF方法在STIFF问题上的初步应用
• 7.1 刚性常微分方程
• 7.2 A稳定性的定义
• 7.3 刚性方程计算特性的简单说明
• 7.4 A稳定的单步OBRECHKOFF方法
• 7.5 数值结果与比较
• 总结
• 附录A
• 附录B
• 附录C
• 附录D
• 致谢
• 参考文献
• 博士期间发表论文
• 表目录
• 图目录