关于不可压Navier-Stokes方程和相关问题的一些研究

论文摘要

本文由四部分组成:第一部分研究带有阻尼项α|u|β-1u（α＞0）的不可压Navier-Stokes方程解的存在性和唯一性。利用Galerkin方法,我们得到了带有阻尼项不可压Navier-Stokes方程Cauchy问题当β≥1时,存在全局的弱解;当β≥7/2时,存在全局的强解,并且当7/2≤β≤5时强解是唯一的。第二部分研究的是带有阻尼项α|u|β-1u（α＞0）的不可压Navier-Stokes方程Cauchy问题弱解的大时间性态。利用Fourier分解方法,我们得到了解的衰减率为-3/2,这与经典的不可压Navier-Stokes方程的衰减率是一样的。第三部分对三维有界及无界区域上的非齐次不可压Navier-Stokes方程解的全局存在性和全局稳定性进行了讨论。利用细致的能量估计,在解满足适当的条件下,对初始数据加上更正则的条件和相容性条件,如果给初值一个小扰动,我们证明了解是整体存在的（0,∞）,而且此解是全局稳定的。第四部分对二维Boussinesq方程进行了一些讨论。利用Schauder不动点定理,我们得到了当初始旋度光滑时,二维Boussinesq方程存在唯一的古典解。但当初始旋度属于L1（R2）或者是Radon测度空间时,是否存在整体的解还未证明,进一步的研究正在进行中。

论文目录

• Abstract
• 摘要
• 1. Introduction
• 1.1 The main models
• 1.2 The main results
• 1.3 Notations and some preliminary lemmas
• 2. Weak and Strong Solutions for the Incompressible Navier-Stokes Equations with Damping
• 2.1 Introduction
• 2.2 The main results
• 2.3 Existence of weak solutions
• 2.4 Existence and uniqueness of strong solution
• 2 Decay of the Incompressible Navier-Stokes equations with Damping'>3. L² Decay of the Incompressible Navier-Stokes equations with Damping
• 3.1 Introduction
• 3.2 The main results
• 3.3 A priori estimates on upper bound of decay
• 3.4 A priori estimates on lower bound of decay
• 3.5 The decay of the weak solutions
• 4. Global Stability of Large Solutions to the Nonhomogeneous Incompressible Navier-Stokes Equations
• 4.1 Introduction
• 4.2 The main results
• 4.3 The global existence of the solutions
• 4.4 The global stability of the solutions
• 5. Some Remarks on Planar Boussinesq Equations
• 5.1 Introduction and the main results
• 5.2 The case of smooth initial data
• References
• The papers finished in the period of PHD
• 致谢