带有扰动的Padé型逼近

论文摘要

近几十年来，函数逼近在理论研究和实际应用中均获得重大进展，它不仅是数值分析的基础，同时在微分方程数值解等方面起着重要作用。具体说来，函数逼近所涉及的问题是：在某一区间上，如何用简单函数逼近已知复杂函数。通常，上面所提及的简单函数包括：（1）多项式函数；（2）分段多项式函数；（3）有理分式函数。诚然，多项式方法是函数逼近的一种很好的工具，但采用它进行函数逼近时存在一个很明显的缺陷。例如：当函数具有极点时，用多项式逼近的效果较差。此时，我们采用有理函数进行逼近。实际上，大量的研究表明有理逼近是很有意义的，这也是为什么近20多年来它受到重视的原因。系统地说，得到有理逼近的方法主要有以下几种：（1）Padé逼近；（2）Chebyshev-Padé逼近；（3）连分式。然而，就传统的有理逼近方法而言，其不足之处在于：计算量较大，而且算法缺乏继承性。本文，我们依次介绍了带有多个扰动参数以及一个扰动参数的经典Padé逼近。考虑到奇、偶函数的特殊性，在带有一个参数的扰动Padé逼近中，我们给出了这两类函数的扰动逼近表达式，并探讨了其原函数与导数的扰动逼近表达式之间的关系。在此基础上，我们提出了带有扰动的Chebyshev-Padé逼近，这种逼近方法能够弥补带有扰动的经典Padé逼近的不足，且还具有以下优点：（1）通过调整扰动参数，我们可以得到新的阶数下的逼近式，而无需重新计算；（2）在大致相同的精度下，我们的方法所需的时间复杂度更小；（3）给出了相应的误差估计，从而便于在误差容许范围内大致地给出满足条件的逼近式。最后，我们以具体的数例说明了文中的结果。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 致谢
• 引言
• 1 函数逼近的研究目的
• 2 有理逼近方法概述
• 3 本文内容及结构安排
• 第一章 函数逼近论基础
• §1.1 预备知识
• §1.2 正交多项式
• §1.2.1 定义及性质
• §1.2.2 勒让德多项式
• §1.2.3 切比雪夫多项式
• §1.3 最佳一致逼近
• §1.4 最佳平方逼近
• §1.5 小结
• 第二章 有理逼近
• §2.1 研究目的及意义
• §2.2 经典Padé逼近
• §2.3 Chebyshev-Padé逼近
• §2.3.1 一般情形
• §2.3.2 奇、偶函数情形
• §2.4 研究现状
• §2.5 小结
• 第三章 带有扰动的经典Padé逼近
• §3.1 带有多个参数的扰动Padé逼近
• §3.2 带有一个参数的扰动Padé逼近
• §3.2.1 一般情形
• §3.2.2 函数导数的带有扰动的Padé逼近
• §3.2.3 数值举例
• §3.3 偶函数带有扰动的Padé逼近
• §3.3.1 偶函数的扰动Padé逼近
• （n）（x）的扰动Padé逼近'>§3.3.2 f^（n）（x）的扰动Padé逼近
• §3.4 奇函数及其导数的扰动Padé逼近
• §3.4.1 奇函数g（x）的扰动Padé逼近
• （n）（x）的扰动Padé逼近'>§3.4.2 g^（n）（x）的扰动Padé逼近
• §3.5 小结
• 第四章 带有扰动的Chebyshev-Padé逼近
• §4.1 带有扰动的Chebyshev-Padé逼近
• §4.1.1 一般情形
• §4.1.2 奇偶函数情形
• §4.2 函数f（x）原函数带有扰动的Chebyshev-Padé逼近
• §4.3 时间复杂度分析及数值举例
• §4.3.1 时间复杂度分析
• §4.3.2 数值例子
• §4.4 小结
• 参考文献
• 作者在攻读硕士学位期间完成的论文
• 在读期间参与的各类科研项目