有关分片代数曲线Bezout数的研究

论文摘要

分片代数曲线定义为二元样条函数的零点集合。利用样条函数对散乱数据插值时,插值适定的充要条件即为节点数与样条空间维数一致且所有节点不落在同一条分片代数曲线上。分片代数曲线的研究不仅对二元样条插值有重要的意义,而且对于传统的代数曲线理论研究也是较为重要的。众所周知,Bezout定理是传统代数几何的开卷定理.其弱形式是:两条交点有限的代数曲线交点上界不超过其次数的乘积,我们将两条代数曲线次数的乘积称为其Bezout数.鉴于Bezout定理在传统代数曲线理论中的重要地位,考虑Bezout定理在分片代数曲线中的推广对于分片代数曲线的研究十分重要。施锡泉与王仁宏在文中对任意三角剖分上,两条0阶光滑的分片代数曲线交点有限的前提下,相交数所能达到的上界进行了估计,即考虑了0阶光滑的分片代数曲线的Bezout定理。王仁宏,赵国辉在文中引入了齐次三角样条的概念,并利用三角函数.的性质估计出了Bezotlt数BN（m,1;n,1;△）.许志强在文中首先证明了文中提出的关于三角剖分的猜想性结论,并指出了分片线性代数曲线与四色猜想之间的内在联系,再利用Morgan-Scott剖分,指出了分片代数曲线Bezout数的不稳定性,最后利用组合优化的方法,给出了任意三角剖分上任意光滑的分片代数曲线Bezout数的上界估计,即考虑了任意阶光滑的分片代数曲线的Bezout定理。本文首先对文中的Bezout数BN（m,r;n,t;△）做了一些适宜的修整和改进,并把这个结果用到了矩形剖分上的分片代数曲线Bezout数的估计上。再对0阶光滑分片代数曲线的Bezout数BN（m,0;n,0;△）做了进一步的补充,得出了BN（m,r;n,t;△）=mnT的充分必要条件,用BN（m,0;n,0;△）的性质论述了一个图论中的有趣的性质,并用组合数学的方法估计出齐次三角样条函数零点个数的上界,最后举出例子说明这个上界能达到的可能性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1. 1 多元样条函数的基本理论
• 1. 2 分片代数曲线和Bezout数的研究意义及发展历程与主要研究结果
• 2 前人的结果
• 2. 1 单纯形剖分顶点染色问题
• 2. 2 三角剖分与分片代数曲线
• 2. 3 分片代数曲线交点个数
• 2. 4 Bezout数BN（m，1；n，1；△）
• 2. 5 Bezout数BN（m，r；n，t；△）
• 2. 6 齐次三角样条
• 3 前人结果的改进和补充
• 3. 1 对BN（m,r;n,r;△）的改进
• 3. 2 矩形剖分下分片代数曲线Bezout数估计
• 3. 3 关于0阶光滑分片代数曲线Bezout定理的补充
• 3. 4 关于齐次三角样条
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表学术论文情况
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