Copula理论与极值统计的应用

论文摘要

Copula用来描述多元随机变量的一维边缘分布与其联合分布之间的函数关系.Copula的精妙结构和潜在价值使其理论得到较快发展,成为近年来一个热门关键词.通过Copula函数,可以捕捉到变量间非线性、非对称以及分布尾部的相关关系,这让它在极值分析和对极端现象的预测中大有作为.本文主要研究Copula的理论与极值统计的应用.CopulaC（u, v）的上下界问题是Copula理论的基本问题之一,如果已知C（u,v）在某个点处的函数值,它的界要变窄.本文证明了由Copula及其生存、对偶和伴随Copula组成的集合在函数的复合运算下构成了Klein四元群,求解了群中元素的界以及它们在某个点处的函数值给定时的界.计算了某个点的值给定时Copula的界CU和CL的不可交换性度量,构造了四个具有最大不可交换性的Copula,揭示了它们的结构特点和性质.给出了在一般的LP距离下不可交换性度量的计算公式.FGM Copula由于其简单的结构和优良的分析性质在建模时被广泛应用.本文从Copula的构造方法出发,研究了FGM Copula的生成与拓展.通过证明形如:Cθ（u, v） = uv +θf（u）g（v）的二元函数是一个Copula的充要条件,构造了一种新型广义FGM Copula: C（u,v） = uv +θuavb（1 - um）c（1 - vn）d,并研究了它的关联性度量和相关性质.所提出的Copula涵盖了文献中许多特殊类型的广义FGM Copula,是它们的推广和综合,取得了广义FGM Copula理论研究的新进展.在深入研究一元极值和Copula理论的基础上,本文建立了一元和二元阈值模型,分别探讨了它们在公交车调度和泥石流沟地貌要素的相关性分析中的应用.先根据一元阈值模型建立了公交车客容量的分布函数,由此可以优化公交车的发车方案.然后将一元超阈值分布与Logistic Copula相结合,构造二元阈值模型,分析了流域面积和流域高差两个地貌要素的极值相关性.另外,利用多元极值Copula研究了多元极值分布函数的相关序理论.

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 Copula函数综述
• 1.2 Copula在理论和应用方面的研究进展
• 1.3 论文的主要内容与创新点
• 1.3.1 论文的主要内容
• 1.3.2 论文的主要创新点
• 第二章 Copula基本理论
• 2.1 Copula的定义和基本性质
• 2.2 Copula的构造方法
• 2.2.1 反演法
• 2.2.2 几何方法
• 2.2.3 代数方法
• 2.3 关联性及其度量
• 2.3.1 线性相关系数
• 2.3.2 和谐性度量
• 2.3.3 相关性
• 2.3.4 相关性度量
• 第三章 Copula的群结构及其界的性质
• 3.1 Copula的界
• 3.2 Copula的群结构及其界
• 3.2.1 Copula集的群结构
• 3.2.2 四元群中元素的界
• 3.2.3 某点值给定时的界
• 3.3 随机变量的对称性
• 3.4 随机变量的非对称性度量
• 3.4.1 某点值给定时Copula界的不可交换性度量
• 3.4.2 最大不可交换Copula的结构特点和性质
• 3.4.3 其它非对称性度量
• 第四章 广义FGM Copula
• 4.1 FGM Copula 的生成与拓展
• 4.1.1 FGM Copula的生成
• 4.1.2 FGM Copula的拓展
• 4.1.3 FGM Copula的性质
• 4.2 广义FGM Copula 的一个判定定理及应用
• 4.2.1 判定定理及证明
• 4.2.2 一类新型广义FGM Copula
• 4.2.3 结果分析
• 4.3 一类新型广义FGM Copula 的相关性
• 4.3.1 线性相关系数
• 4.3.2 Kendall τ和Spearman ρ
• 4.3.3 相关性质
• 第五章 一元极值理论及其应用
• 5.1 为什么会有极值理论
• 5.2 极值分析的图形技术
• 5.2.1 Q–Q图
• 5.2.2 平均剩余寿命图
• 5.3 广义极值分布
• 5.3.1 极值的概率分布
• 5.3.2 参数估计
• 5.4 广义Pareto分布
• 5.4.1 超阈值的概率分布
• 5.4.2 GPD拟合分布尾部
• 5.4.3 阈值的选取
• 5.4.4 广义Pareto分布的极大似然估计
• 5.5 公交车调度的实证分析
• 5.5.1 数据的整理
• 5.5.2 数据的极值分析
• 5.5.3 结果分析
• 第六章 多元极值理论及其应用
• 6.1 多元极值分布
• 6.1.1 多元极值的概率分布
• 6.1.2 多元极值Copula
• 6.1.3 多元极值分布的偏序关系及其界
• 6.2 二元极值分布
• 6.2.1 二元极值分布的相关函数
• 6.2.2 二元极值分布的参数模型
• 6.2.3 二元极值分布的尾部相关性
• 6.3 二元超阈值模型
• 6.3.1 分布的尾部估计
• 6.3.2 参数估计
• 6.4 泥石流地貌要素的相关性分析
• 6.4.1 极值数据的探索性分析
• 6.4.2 用二元极值模型描述相关性
• 第七章 结束语
• 参考文献
• 发表论文和参加科研情况说明
• 致谢